bzoj4805 欧拉函数求和（杜教筛）

杜教筛就是用来快速处理积性函数前缀和的东西。
比如我们要求$\sum\limits_{i=1}^n\phi(i)$,n<=1e9
线性是不够的！我们需要更好的计算方法。
设$f(x)=\phi(x),s(x)=\sum\limits_{i=1}^xf(i),g(x)$为积性函数。
那么我们有

$$\sum\limits_{i=1}^n(f*g)(i)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i}g(d)f(i/d)$$
$$=\sum\limits_{d=1}^ng(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor n/d\rfloor}f(i)$$
$$=\sum\limits_{d=1}^ng(d)s(\lfloor n/d\rfloor)$$
因此我们有 $$g(1)s(n)=\sum\limits_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum\limits_{d=2}^ng(d)s(\lfloor n/d\rfloor)$$
只要我们能快速的得到f*g的前缀和，后面那一部分可以分块计算，我们就可以递归+记忆化来快速求si了。
那么我们只要根据f选择适当的g使得f*g好算即可。
比如此题$f(x)=\phi(x)$，我们有$\phi*1=id$
因此可以让$g(x)=1(x)$。
这样我们就得到了 $$s(n)=n*(n+1)/2-\sum\limits_{d=2}^ns(\lfloor n/d\rfloor)$$
就可以算啦！
我们预处理出前$n^{2/3}$的s，剩下的递归+记忆化来算。把s[x]记在s[n/x]上即可。
复杂度$O(n^{2/3})$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 2000010 
inline char gc(){
    static char buf[1<<16],*S,*T;
    if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
int n,prime[N>>3],tot=0;;ll phi[N],s[10000];
bool notprime[N];
inline void init(){
    notprime[1]=1;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=2000000;++i){
        if(!notprime[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;prime[j]*i<=2000000;++j){
            notprime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];break;
            }phi[prime[j]*i]=phi[prime[j]]*phi[i];
        }
    }for(int i=2;i<=2000000;++i) phi[i]+=phi[i-1];
}
inline ll calc(int x){
    if(x<=2000000) return phi[x];
    if(s[n/x]) return s[n/x];
    ll res=(ll)x*(x+1)>>1;
    for(int i=2,last;i<=x;i=last+1){
        last=x/(x/i);
        res-=calc(x/i)*(last-i+1);
    }return s[n/x]=res;
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read();init();
    printf("%lld\n",calc(n));
    return 0;
}