【BZOJ4805】欧拉函数求和（杜教筛）

最新推荐文章于 2020-10-15 15:27:13 发布

小蒟蒻yyb

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分类专栏： BZOJ 杜教筛

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杜教筛

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本文介绍了一种利用杜教筛算法求解S(n)=∑i=1nφ(i)的方法，并给出了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

BZOJ

题解

好久没写过了
正好看见了顺手切一下
令

S (n) = \sum i = 1 n φ (i)

$S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$
设存在的某个积性函数

g(x) $g(x)$

(g * φ) (i) = \sum d | i g (d) φ (i d)

$(g*\varphi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})$

\sum i = 1 n (g * φ (i)) (i)

$\sum_{i=1}^n(g*\varphi(i))(i)$

= \sum i = 1 n \sum d | i g (d) φ (i d)

$=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})$

= \sum d = 1 n g (d) \sum d | i φ (i d)

$=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{d|i}\varphi(\frac{i}{d})$

= \sum d = 1 n g (d) \sum i = 1 n / i φ (i)

$=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/i}\varphi(i)$

= \sum d = 1 n g (d) S (n d)

$=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})$

拿出杜教筛的套路柿子

g (1) S (n) = \sum i = 1 n (g * φ) (i) - \sum i = 2 n g (i) S (n i)

$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\varphi)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})$

我们知道 $(\varphi*1)=x$

S (n) = \sum i = 1 n i - \sum i = 2 n S (n i)

$S(n)=\sum_{i=1}^ni-\sum_{i=2}^nS(\frac{n}{i})$

S (n) = n ( n + 1 ) 2 - \sum i = 2 n S (n i)

$S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^nS(\frac{n}{i})$

预处理 $10^7$ 然后杜教筛美滋滋

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 10000000
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int pri[MAX+10],tot;
bool zs[MAX+10];
ll phi[MAX+10];
void pre()
{
    zs[1]=true;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAX;++i)
    {
        if(!zs[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=MAX;++j)
        {
            zs[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j])phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
            else{phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
        }
    }
    for(int i=1;i<=MAX;++i)phi[i]+=phi[i-1];
}
map<ll,ll> M;
ll Solve(ll x)
{
    if(x<=MAX)return phi[x];
    if(M[x])return M[x];
    ll ret=0;
    for(ll i=2,j;i<=x;i=j+1)
    {
        j=x/(x/i);
        ret+=(j-i+1)*Solve(x/i);
    }
    return M[x]=x*(x+1)/2-ret;
}
int main()
{
    pre();
    int n=read();
    printf("%lld\n",Solve(n));
    return 0;
}