bzoj2154 Crash的数字表格(莫比乌斯反演)

最新推荐文章于 2020-07-16 21:03:57 发布

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本文介绍了一种计算从1到n范围内所有数对的最小公倍数(LCM)之和的有效算法。通过使用莫比乌斯反演简化计算过程，并采用分块技巧将时间复杂度降低至O(n)。代码实现包括初始化莫比乌斯函数和计算核心函数f(x,y)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

求lcm(i,j)的和.
这个题解写的挺详细的呢：传送门。
算答案时分块套路复杂度O(sqrt(n)),算f[x][y]时利用了莫比乌斯反演，分块计算，复杂度也是O(sqrt(n)),所以总的复杂度是O(n)
tips:注意因为取模带来的负数问题。。。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 10000010
#define mod 20101009
using namespace std;
int n,m,prime[N],tot=0;
ll mu[N];
bool notprime[N];
void Mobius(){
    memset(notprime,0,sizeof(notprime));
    mu[1]=1;notprime[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!notprime[i]){
            prime[++tot]=i;mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;prime[j]*i<=n;++j){
            notprime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[prime[j]*i]=0;break;
            }
            mu[prime[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) mu[i]=((ll)mu[i]*i%mod*i%mod+mu[i-1])%mod;
}
inline ll sum(ll x,ll y){return x*(x+1)/2%mod*(y*(y+1)/2%mod)%mod;}
ll f(ll x,ll y){
    if(x>y) swap(x,y);
    ll re=0;ll last;
    for(ll i=1;i<=x;i=last+1){
        last=min(x/(x/i),y/(y/i));
        re=(re+(mu[last]-mu[i-1]+mod)*sum(x/i,y/i)%mod)%mod;
        //可能会减出负的。要注意。 
    }
    return re;
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);if(n>m) swap(n,m);
    Mobius();
    ll last;ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=n;i=last+1){
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans=(ans+(last+i)*(last-i+1)/2%mod*f(n/i,m/i))%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}