poj3233 Matrix Power Series (二分+矩阵+快速幂)

最新推荐文章于 2024-08-17 03:23:33 发布

Icefox_zhx

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分类专栏：其他oj 矩阵快速幂二分

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂及二分法优化求解特定形式多项式的高效算法。该算法适用于处理大规模数据集，通过递归分解问题规模，显著降低了计算复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先A^k我们可以通过快速幂求得，但是我们不能每一项都去算快速幂，这样还是会超时的。我们发现可以通过二分优化。
如果k为偶数,那么
$(A+A^2+....A^K) = (A+...+A^{k\over 2})+A^{k\over 2}*(A+...+A^{k\over 2})$
如果k为奇数,那么
$(A+A^2+....A^K)=(A+...+A^{k\over 2})+A^{k+1\over 2}*(A+...+A^{k\over 2})+A^{k+1\over 2}$
因此我们可以递归求解

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 32
#define ll long long
int n,mod,kk;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
struct Matrix{
    int mat[N][N];
    Matrix(bool t){
        memset(mat,0,sizeof(mat));
        if(t) for(int i=1;i<=n;++i) mat[i][i]=1;
    }
    Matrix operator+(Matrix b){
        Matrix res(0);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                res.mat[i][j]=(mat[i][j]+b.mat[i][j])%mod;
        return res;
    }
    Matrix operator*(Matrix b){
        Matrix res(0);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                for(int k=1;k<=n;++k)
                    res.mat[i][j]=(res.mat[i][j]+mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod;
        return res;
    }
    Matrix operator^(int k){
        Matrix base(0),res(1);
        memcpy(base.mat,mat,sizeof(mat));
        for(;k;k>>=1,base=base*base)
            if(k&1) res=res*base;
        return res;
    }
}a(0),ans(0),a1(0),a2(0);
Matrix solve(int k){
    if(k==1) return a;
    if(k&1){//k为奇数
        a1=solve(k>>1);a2=a^(k+1>>1);
        return a1*a2+a1+a2;
    }
    else{
        a1=solve(k>>1);a2=a^(k>>1);
        return a1*a2+a1;
    }
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read();kk=read();mod=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j) a.mat[i][j]=read();
    ans=solve(kk);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<n;++j) printf("%d ",ans.mat[i][j]);
        printf("%d\n",ans.mat[i][n]);
    }
    return 0;
}