矩阵的逆变换

最新推荐文章于 2025-05-22 18:01:03 发布

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本文介绍了矩阵的逆变换，包括待定系数法、伴随矩阵法和初等变换法。待定系数法通过求解方程组确定逆矩阵；伴随矩阵法涉及代数余子式和行列式的计算；初等变换法则通过对(A,E)矩阵进行行变换找到逆矩阵。" 79410437,7333555,Android 隐式Intent实战：启动Activity与访问网址,"['Android开发', 'Intent传递', 'Activity']

概念

性质

求解方法

1. 待定系数法

假设有矩阵A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1& -3 \end{bmatrix}$ ，其逆矩阵B= $\begin{bmatrix} a & b\\ c&d \end{bmatrix}$

那么，AB = $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{bmatrix}$

AB= $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1& -3 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} a & b\\ c&d \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} a+2c & b+2d\\ -a-3c&-b-3d \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{bmatrix}$

那么，求解逆矩阵的过程最终变成了求解方程式，只需要求解出a,b,c,d的值，就可以确定A的逆矩阵B

B = $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ -1&-1 \end{bmatrix}$

2. 伴随矩阵法

求解之前，需要先知道两个概念。

代数余子式 和 行列式

参考这篇博客

好了，有了以上基础知识就可以求矩阵的伴随矩阵了

（1）伴随矩阵是矩阵元素所对应的代数余子式，所构成的矩阵，转置后得到的新矩阵。

首先，先求解A的代数余子式

A11 = $(-1)^{^{1+1}}$ * M11 = -3；

A12 = 1; A21 = -2; A22 = 1；

=> $\begin{bmatrix} -3 & 1\\ -2&1 \end{bmatrix}$ ==转置==> $\begin{bmatrix} -3 & -2\\ 1&1 \end{bmatrix}$ ，得到矩阵A的伴随矩阵A*

（2）矩阵A的行列式

|A| = -1

矩阵的逆矩阵 $A^{^{-1}}$ = A*/|A| = $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ -1&-1 \end{bmatrix}$

3. 初等变换法

矩阵(A,E)进行初等行变换，使其变成(E,B),则B就是A的逆矩阵 $A^{^{-1}}$

首先构造矩阵（A,E) = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 &0 \\ -1& -3&0 &1 \end{bmatrix}$ ,

通过行变换，即最终把矩阵变成 (E,B) = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 &2 \\ 0& 1&-1 &-1 \end{bmatrix}$ ，

那么B= $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ -1&-1 \end{bmatrix}$ ，即为矩阵A的逆矩阵 $A^{^{-1}}$ 。

详细参考这篇博客

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