线性代数学习心得（二）矩阵的逆和矩阵变换

最新推荐文章于 2025-03-11 22:35:27 发布

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本文最希望通过维度变换的角度，来思考矩阵的逆、行列式、以及行变换、列变换。

1、矩阵的逆

1.1、矩阵的逆是什么？

我们依旧把矩阵理解为函数或者说是映射。假设存在矩阵向量。那么 F*X 可以看成是 F(X) 。

我们令矩阵F的逆矩阵为。也就是函数。

若 Y=F(x) 也就是说，是 F(x) 的输出。显然矩阵*向量 = 向量。那么也是向量。

X=G(y) 。

由此看出，原矩阵把向量映射成向量，而逆矩阵 $F^{-1}$ 就可以把向量映射成。

写成数学式： F*X=Y $F^{-1}*Y=X$ 。

1.2、矩阵不可逆的情况

1.2.1 矩阵的秩

如果你了解些许函数的概念的话，你就能够明白矩阵可逆的条件了。既然矩阵可以映射，还能够通过映射的值找到原来的值。那么矩阵运算过程中就不能有数据丢失，就是函数中的一对一函数。

简单的说：矩阵可逆的条件是，对于任意两个不相同的向量必定 $F*X1\neq F*X2$ 。

关于矩阵的秩，大家都知道，矩阵有n个行向量不平行，矩阵的秩就是n。矩阵的秩就是矩阵的维度。

我们也知道，矩阵*向量时输出的向量的维度会与矩阵的维度相等。所以说：矩阵的秩，或者说矩阵的维度，就是该矩阵把向量映射后的维度。

假设矩阵的秩为 2，向量的维度是 3。矩阵*向量后，向量的维度也是2。这里的信息是必然丢失的。可以想象，一个三维的向量被投射到一个二维的平面上，那么你永远不会知道它原来长什么样，因为肯定有无穷多多个不同的三维向量被投射到了同一个二维向量上。例：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 14 \\ 13 \end{bmatrix}$

假设我遮住原向量，给你矩阵和乘法的结果。你能知道原向量吗？显然是不可能的，如下：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 14 \\ 13 \end{bmatrix}$ 将这个为题变成方程组，也是三个未知数，两个方程。不可能得出唯一解。所以这不是一对一的，也就意味着你永远找不到原来的向量。

PS：如果大家无法还是难以理解，可以思考这样一个矩阵。

假设三维空间的三个坐标轴为X Y Z，假设矩阵 M ，作用是将向量投影到X Y 平面上。

一个三维的向量 $V= \begin{bmatrix} x1\\ y1\\ z1 \end{bmatrix}$ 被投影到X Y平面之后就是 $\begin{bmatrix} x1\\ y1 \\0 \end{bmatrix}$ 即 $M*V=\begin{bmatrix} x1\\ y1\\ 0 \end{bmatrix}$ 。

那么什么样的向量被投影到 X Y平面之后会变成 零向量呢？答案就是与X Y垂直的向量，都会被投影成零向量。换而言之，与Z轴平行的向量都会被投影成零向量。

即，若向量 V与Z轴平行，那么 $M*V=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$ 。也就是说无穷多个向量会被投影成零向量。而不仅仅是零向量，X Y平面的所有向量都可以被无穷多个三维向量投影而成。同样，不仅仅是X Y平面，任何一个平面都有这样的性质。矩阵的秩不满，就意味着矩阵乘法会把维度减少，从而把向量投影到一个更低的维度。这一点有一个比较“实用”的应用，就是方程组通解的个数与矩阵秩的关系就是这个原理。

最后得出结论：矩阵满秩时（不为0的行数等于列数），也就是说矩阵没有减少维度时，矩阵是可逆的。

1.2.2矩阵中向量平行

矩阵中有向量是平行的，就说明，可以通过某种变换让矩阵降维（使某一行全为0，矩阵的秩减少。这种变换就是行变换，行变换不会改变矩阵原有的信息，后面我们会谈到。）此时，矩阵是不可逆的。

不过，除了矩阵的秩减少，我们可以换一个思维模式得到不可逆这个结论。例如:

$A=\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2& 6 \end{bmatrix}$ 显然矩阵的两个列向量 $\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} 3\\6 \end{bmatrix}$ 平行或者说共线，同时行向量也平行。

如果你有阅读过我的上一篇线性代数博客，你应该还记得，矩阵乘法就是对矩阵中向量的线性组合。

所以：存在某个向量 $V=\begin{bmatrix} v1\\v2 \end{bmatrix}$ 那么令 $X=A*V=\begin{bmatrix} v1+3*v2\\2*v1+6*v2 \end{bmatrix}$ 。

向量是由向量 $\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 3\\6 \end{bmatrix}$ 线性组合而来。同时这两个向量是共线的。所以也与这两个向量共线。应该说矩阵所有的映射(即A与向量做矩阵乘法)都会与这两条向量共线。

向量原本是二维向量，现在被映射到了一条直线上（一维），明显数据是丢失的。

再次得出结论：矩阵中有平行的向量时，矩阵不可逆。

1.2.3矩阵映射后出现出现0向量

当时，矩阵不可逆。

再回到线性组合的思想，在矩阵中的向量组合中，有0向量。这就说明了某个向量与其他全部向量的某种组合共线。

这么说的特别的拗口。如图：

这里有三个向量 $\begin{bmatrix} -4\\3 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 4\\3 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 0\\-5 \end{bmatrix}$ 令矩阵 $A=\begin{bmatrix} -4 & 4 & 0\\ 3& 3& -5 \end{bmatrix}$ ，我们利用前面两种向量线性组合，就能获得所有的二维的向量，所以说第三个向量是多余的。

同样，很容易证明这个矩阵不是一对一映射的，这里就不多赘述了。

当我想要组合某一个向量时，我只需要对前面两个向量设置参数就行了。可以说第三个向量与所有的组成方式都没有关系。就是说第三个向量的参数一直设置为0，也不会让某种二维向量映射不出来。也许你听说过这个现象的另一个名字，线性无关。

1.2、逆的求法

1.2.1利用性质

矩阵对于其逆矩阵。就好像函数对于其反函数。

函数具有一个性质， $f(f^{-1}(x))=x$ 。函数内嵌套复合函数，其函数值为x。（假设函数 f(x) 将集合映射到集合，那么 $f^{-1}(x)$ 就是将集合中的元素映射回原来中的元素）。

例如函数 f(x)=e^x 它的反函数是 $f^{-1}(x)=lnx$ 。 $f(f^{-1}(x))=e^{lnx}=x$ 同样 $f^{-1}(f(x))=lne^x=x$ 。

矩阵乘法就是函数嵌套。例如：矩阵我们理解成 A(x) 函数其逆矩阵 $A^{-1}$ 是反函数 $A^{-1}(x)$ 。那么 $A^{-1}*A$ 就相当于 $A(A^{-1}(x))$ 。（这里不得不提，在矩阵乘法时，我们总是从右往左乘，虽然矩阵乘法有交换律但是从右向左乘理解会方便很多。后面讲到矩阵变换时，其作用就会很明显）。

函数与反函数给我们的启发是，它们复合（无论谁在外层）的函数，我们输入依旧会得到一个。映射前后，输入的值没有变化。这一点也同样可以放到矩阵乘法中。也就是说存在向量和矩阵 $A^{-1}*A*V=V$ 。

这也就意味着 $A^{-1}*A=I$ （矩阵往往作为单位矩阵的标识出现。所谓的单位矩阵，就是它乘某个向量时，向量不会变化）。同理： $A*A^{-1}=I$ 。

我们来举个例子求逆矩阵：

矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2&7 \end{bmatrix}$ $A^{-1}=\begin{bmatrix} a &c \\ b& d \end{bmatrix}$ $I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{bmatrix}$ （单位矩阵上的左对角线全部为1，其余部分都为0）

$A*A^{-1}=I$ $A*A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2&7 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} a &c \\ b& d \end{bmatrix}=I=\begin{bmatrix} 1 &0 \\0& 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2&7 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2&7 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}$ 这里利用矩阵乘法直接解方程，就能得到各个字母等于多少。从而求出逆矩阵。

1.2.2增广矩阵

我并不太喜欢增广矩阵这个说法，虽然这个名词很重要，但是这里我还是想用原理说清楚为什么可以利用增广矩阵。

我们常常看到的通过增广矩阵的解法是这样的。

求 $\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2 &7 \end{bmatrix}$ 的逆矩阵那么画出矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 3 &1 &0 \\ 2&7 &0 &1 \end{bmatrix}$ 这个矩阵的左边是原矩阵，右边是单位矩阵。通过行变换，将矩阵变成 $\begin{bmatrix} 1 &0 &a &c \\ 0 &1 &b &d \end{bmatrix}$ 这个时候，右边的矩阵 $\begin{bmatrix} a &c \\ b &d \end{bmatrix}$ 就是原矩阵的逆矩阵。

为什么呢？

这里我们需要理解行变换。行变换就是矩阵乘某些变换矩阵，让行移位或者相消。

例如：对矩阵 $\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2 &7 \end{bmatrix}$ 变换成 $\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$ 就是行二减二倍行一。前后矩阵蕴含的信息和性质不变。

这个变换过程可以通过矩阵乘法实现，令行二变换的矩阵为 E21 . $E21*\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2 &7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$ 。再令行一变换的矩阵为 E12 。

$E12*E21*A=I=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$

很容易理解 $E21^{-1}*E12^{-1}*I=A$ （记得我前面写的，矩阵从右往左乘。但是在此强调，矩阵乘法是函数嵌套，同理通过乘逆矩阵变回原来的矩阵，就要先乘最后一个被乘的矩阵的逆矩阵。你脱鞋子之后再脱袜子，逆过程就是先穿袜子再穿鞋子）。

既然 E12*E21*A=I 而 $A^{-1}*A=I$ 那么 $E12*E21=A^{-1}$ 。

增广矩阵就是 $\begin{bmatrix} A &I \end{bmatrix}$ 左边为矩阵右边为矩阵。 $E12*E21*\begin{bmatrix} A &I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I &A^{-1} \end{bmatrix}$ 。

所有右边的矩阵就是的逆矩阵。

2.变换矩阵

关于行变换矩阵，我将介绍具体怎么写这个矩阵。已经里面蕴含的思想。

虽然我说了我们常常把矩阵乘法想像为从右往左乘，但是现在你需要反过来，从左往右乘。

这里你得需要前置知识在我的上一篇博客中：https://blog.youkuaiyun.com/ACM5100/article/details/88036414

这里重申最为重要的一点：矩阵相乘可以理解成，对左边矩阵的列向量的线性组合，也可以是对右边矩阵行向量的线性组合。

那么我假设你理解这句话：

矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2 &7 \end{bmatrix}$ $E21*A=\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$ 我们令 $E21=\begin{bmatrix} a &c \\ b &d \end{bmatrix}$

变换后的矩阵，第一行没有变换（就是第一行的1倍+第二行的0倍） $E21=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ c& d \end{bmatrix}$ 第二行是由第一行的-2倍加上第二行的1倍所以 $E21=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ -2& 1 \end{bmatrix}$ 。