Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（4）—1D 射影几何与交比

              1D 射影几何与交比

  直线上的点$x$用齐次坐标表示为$(x_1,x_2{)}^T$，而$(x_1,0{)}^T$是该直线的理想点。我们将用记号$\bar{x}$表示 2 维矢量$(x_1,x_2{)}^T$。其可用齐次矩阵表示：
$${\bar{x}}^{{}^{\prime }}=H_{2\times 2}\bar{x}$$

交比:
  交比是 $I{P}^1$ 的基本射影不变量。给定 4 个点${\bar{x}}_i$，交比定义为:
$$Cross({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,{\bar{x}}_3,{\bar{x}}_4)=\frac{\left|{\bar{x}}_1{\bar{x}}_2\right|\left|{\bar{x}}_3{\bar{x}}_4\right|}{\left|{\bar{x}}_1{\bar{x}}_3\right|\left|{\bar{x}}_2{\bar{x}}_4\right|}$$

其中：
$$\left|{\bar{x}}_i{\bar{x}}_j\right|=det\left[\begin{array}{cc}{x}_{i1}& x_{j1}\\ x_{i2}& x_{j2}\end{array}\right]$$

交比的主要特点：

• 交比的值与各点${\bar{x}}_i$所用的具体的齐次表示无关。
• 如果每点${\bar{x}}_i$都是有限点，并在齐次表示中均选择$x_2=1$ 。那么 $\left|{\bar{x}}_i{\bar{x}}_j\right|$ 就表示${\bar{x}}_i$到${\bar{x}}_j$的带符号的距离。
• :如果点${\bar{x}}_i$中有一个理想点，交比的定义仍然有效.。
• 在任何直线的射影变换下，交比的值不变。

共点线：  共点线是直线上共线点的对偶。这意味着平面上的共点线也有几何$I{P}^1$。特别是，任何四条共点线都有一个确定的交比。