本文探讨了如何从图像中恢复仿射和度量性质，包括射影矫正原理、虚圆点及其对偶概念，并介绍了如何通过图像处理技术测量角度和长度比。
从图像恢复仿射和度量性质
射影矫正的目的是消除平面的透视图像中的射影失真，使得原始平面的相似性质(角度，长度比)可以被测量。
1.由图像恢复仿射性质
结论 1： 在射影变换 HHH下，无穷远直线l∞l_{\infty }l∞为不动直线的充要条件是HHH是仿射变换。
证明：
l∞′=HA−Tl∞=[A−T0−t−TA−T1][001]=[001]=l∞l_{\infty }^{'}=H_{A}^{-T}l_{\infty }=\begin{bmatrix}
A^{-T} & 0\\
-t ^{-T}A^{-T}& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}=l_{\infty }
l∞′=HA−Tl∞=[A−T−t−TA−T01]⎣⎡001⎦⎤=⎣⎡001⎦⎤=l∞
同理，逆命题也是正确的。
在平面的像中，一但无穷远直线的像得到辨认，就有可能对原平面进行仿射测量。如图1所示，直接把已辨认的l∞l_{\infty }l∞变换到它的规范位置l∞=(0,0,1)Tl_{\infty }=(0,0,1)^Tl∞=(0,0,1)T。把实现此变换的(射影)矩阵应用于图像中的每一点以达到对图像进行仿射矫正的目的，即变换之后，仿射测量可以直接在矫正过的图像中进行。
图1仿射矫正图1仿射矫正图1仿射矫正
如果无穷远直线的像是I=(l1,l2,l3)TI = (l_1,l_2,l_3)^TI=(l1,l2,l3)T,假定l3≠0,那么把l映射回l_{3}\neq 0,那么把l映射回l3=0,那么把l映射回l∞=（0,0,1）Tl_{\infty }=（0,0,1） ^Tl∞=（0,0,1）T的一个合适的射影点变换是:
H=HA[100010l1l2l3]H=H_{A}\begin{bmatrix}
1 & 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
l_{1}& l_{2} &l_{3}
\end{bmatrix}H=HA⎣⎡10l101l200l3⎦⎤
直线上的距离比
给定一条直线上有已知长度比的两个线段，该直线上的无穷远点便可以确定。
2.虚圆点及其对偶
虚圆点 每一圆周与l∞l_{\infty }l∞相交的点称为虚圆点。
在二次曲线为圆时有a=ca=ca=c且b=0b = 0b=0。取a=1a=1a=1则：
x12+x22+dx1x3+ex2x3+fx32=0x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+dx_{1}x_{3}+ex_{2}x_{3}+fx_{3}^{2}=0x12+x22+dx1x3+ex2x3+fx32=0
该二次曲线相交与l∞l_{\infty }l∞于( 理想) 点（x3=0x_3 = 0x3=0）:
x12+x22=0 x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 0x12+x22=0
解得I=(1,i,0)TI=(1,i,0)^TI=(1,i,0)T ,J=(1,−i,0)TJ=(1,-i,0)^TJ=(1,−i,0)T
结论2 在射影变换HHH下 . 虚圆点III和JJJ为不动点的充要条件是HHH是相似变换。
证明
虚圆点(也称绝对点)I=(1,i,0)TI=(1,i,0)^TI=(1,i,0)T ,J=(1,−i,0)TJ=(1,-i,0)^TJ=(1,−i,0)T在保向相似变换下:
I′=HSI=[scosθ−ssinθtxssinθscosθty001](1i0)=se−iθ(1i0)=II'=H_{S}I=\begin{bmatrix}
scos\theta & -ssin\theta & t_{x}\\
ssin\theta & scos\theta & t_{y}\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
i\\
0
\end{pmatrix}=se^{-i\theta }\begin{pmatrix}
1\\
i\\
0
\end{pmatrix}=II′=HSI=⎣⎡scosθssinθ0−ssinθscosθ0txty1⎦⎤⎝⎛1i0⎠⎞=se−iθ⎝⎛1i0⎠⎞=I
同理$ J $也可证明。
与虚圆点对偶的二次曲线 C∞∗=IJT+JITC_{\infty }^{*}=IJ^T+JI^TC∞∗=IJT+JIT
结论 3 对偶二次曲线C∞∗C_{\infty }^{*}C∞∗在射影变换HHH下不变的充要条件是HHH是相似变换。
此外，在任何射影框架下，对偶二次曲线C∞∗C_{\infty }^{*}C∞∗还具有以下性质：
- 有 4 自由度
- l∞l_{\infty }l∞ 是C∞∗C_{\infty }^{*}C∞∗的零矢量
3.射影子面上的夹角
在欧氏几何中，两线间的夹角由它们法线的点乘来计算。直线I=(l1,l2,l3)TI = (l_1,l_2,l_3)^TI=(l1,l2,l3)T和m=(m1,m2,m3)Tm= (m_1,m_2,m_3)^Tm=(m1,m2,m3)T的法线分别平行于$ (l_1,l_2)^T和和和 (m_1,m_2)^T$，其夹角为：
cosθ=l1m1+l2m2(l12+l22)(m12+m22)cos\theta =\frac{l_1m_1+l_2m_2}{\sqrt{(l_{1}^{2}+l_{2}^{2})(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})}}cosθ=(l12+l22)(m12+m22)l1m1+l2m2
在射影变换下不变的公式为:
cosθ=lTC∞∗m(lTC∞∗l)(mTC∞∗m)cos\theta =\frac{l^TC_{\infty }^{*}m}{\sqrt{(l^TC_{\infty }^{*}l)(m^TC_{\infty }^{*}m)}}cosθ=(lTC∞∗l)(mTC∞∗m)lTC∞∗m
其中C∞∗C_{\infty }^{*}C∞∗是与虚圆点对偶的二次曲线。
结论4 一旦二次曲线C∞∗C_{\infty }^{*}C∞∗在射影平面上被辨认，那 么欧氏角可以测量。
结论5 如果lTC∞∗m=0l^TC_{\infty }^{*}m=0lTC∞∗m=0, 则直线lll和mmm正交。
结论6 一旦二次曲线C∞∗C_{\infty }^{*}C∞∗在射影平面上被辨认，长度比同样可以测量。
###4.由图像恢复度量性质
把虚圆点变换到它们的标准位置，就可以由平面的图像恢复度量性质。对偶二次曲线C∞∗C_{\infty }^{*}C∞∗几乎包含了实现度量矫正所需的全部信息。它能确定射影变换中的仿射和射影成分，而只留下相似变换的失真。
结论7 在射影平面上，一旦 C∞∗C_{\infty }^{*}C∞∗辨认， 那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。
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