Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记(5)—从图像恢复仿射和度量性质

本文探讨了如何从图像中恢复仿射和度量性质,包括射影矫正原理、虚圆点及其对偶概念,并介绍了如何通过图像处理技术测量角度和长度比。

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            从图像恢复仿射和度量性质

  射影矫正的目的是消除平面的透视图像中的射影失真,使得原始平面的相似性质(角度,长度比)可以被测量。

1.由图像恢复仿射性质

结论 1:  在射影变换 HHH下,无穷远直线l∞l_{\infty }l为不动直线的充要条件是HHH是仿射变换。
证明:
l∞′=HA−Tl∞=[A−T0−t−TA−T1][001]=[001]=l∞l_{\infty }^{'}=H_{A}^{-T}l_{\infty }=\begin{bmatrix} A^{-T} & 0\\ -t ^{-T}A^{-T}& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}=l_{\infty } l=HATl=[ATtTAT01]001=001=l

  同理,逆命题也是正确的。

  在平面的像中,一但无穷远直线的像得到辨认,就有可能对原平面进行仿射测量。如图1所示,直接把已辨认的l∞l_{\infty }l变换到它的规范位置l∞=(0,0,1)Tl_{\infty }=(0,0,1)^Tl=(0,0,1)T。把实现此变换的(射影)矩阵应用于图像中的每一点以达到对图像进行仿射矫正的目的,即变换之后,仿射测量可以直接在矫正过的图像中进行。
     图1
图1仿射矫正图1仿射矫正1仿

  如果无穷远直线的像是I=(l1,l2,l3)TI = (l_1,l_2,l_3)^TI=(l1,l2,l3)T,假定l3≠0,那么把l映射回l_{3}\neq 0,那么把l映射回l3=0,ll∞=(0,0,1)Tl_{\infty }=(0,0,1) ^Tl=0,0,1T的一个合适的射影点变换是:
H=HA[100010l1l2l3]H=H_{A}\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ l_{1}& l_{2} &l_{3} \end{bmatrix}H=HA10l101l200l3

直线上的距离比
  给定一条直线上有已知长度比的两个线段,该直线上的无穷远点便可以确定。

2.虚圆点及其对偶

虚圆点 每一圆周与l∞l_{\infty }l相交的点称为虚圆点。
  在二次曲线为圆时有a=ca=ca=cb=0b = 0b=0。取a=1a=1a=1则:
x12+x22+dx1x3+ex2x3+fx32=0x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+dx_{1}x_{3}+ex_{2}x_{3}+fx_{3}^{2}=0x12+x22+dx1x3+ex2x3+fx32=0

  该二次曲线相交与l∞l_{\infty }l于( 理想) 点(x3=0x_3 = 0x3=0):
x12+x22=0 x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 0x12+x22=0

  解得I=(1,i,0)TI=(1,i,0)^TI=(1,i,0)T ,J=(1,−i,0)TJ=(1,-i,0)^TJ=(1,i,0)T

结论2 在射影变换HHH下 . 虚圆点IIIJJJ为不动点的充要条件是HHH是相似变换。
证明
  虚圆点(也称绝对点)I=(1,i,0)TI=(1,i,0)^TI=(1,i,0)T ,J=(1,−i,0)TJ=(1,-i,0)^TJ=(1,i,0)T在保向相似变换下:
I′=HSI=[scosθ−ssinθtxssinθscosθty001](1i0)=se−iθ(1i0)=II'=H_{S}I=\begin{bmatrix} scos\theta & -ssin\theta & t_{x}\\ ssin\theta & scos\theta & t_{y}\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ i\\ 0 \end{pmatrix}=se^{-i\theta }\begin{pmatrix} 1\\ i\\ 0 \end{pmatrix}=II=HSI=scosθssinθ0ssinθscosθ0txty11i0=seiθ1i0=I

  同理$ J $也可证明。

与虚圆点对偶的二次曲线C∞∗=IJT+JITC_{\infty }^{*}=IJ^T+JI^TC=IJT+JIT

结论 3  对偶二次曲线C∞∗C_{\infty }^{*}C在射影变换HHH下不变的充要条件是HHH是相似变换。
此外,在任何射影框架下,对偶二次曲线C∞∗C_{\infty }^{*}C还具有以下性质:

  • 有 4 自由度
  • l∞l_{\infty }lC∞∗C_{\infty }^{*}C的零矢量

3.射影子面上的夹角

  在欧氏几何中,两线间的夹角由它们法线的点乘来计算。直线I=(l1,l2,l3)TI = (l_1,l_2,l_3)^TI=(l1,l2,l3)Tm=(m1,m2,m3)Tm= (m_1,m_2,m_3)^Tm=(m1,m2,m3)T的法线分别平行于$ (l_1,l_2)^T和和 (m_1,m_2)^T$,其夹角为:
cosθ=l1m1+l2m2(l12+l22)(m12+m22)cos\theta =\frac{l_1m_1+l_2m_2}{\sqrt{(l_{1}^{2}+l_{2}^{2})(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})}}cosθ=(l12+l22)(m12+m22)l1m1+l2m2

  在射影变换下不变的公式为:
cosθ=lTC∞∗m(lTC∞∗l)(mTC∞∗m)cos\theta =\frac{l^TC_{\infty }^{*}m}{\sqrt{(l^TC_{\infty }^{*}l)(m^TC_{\infty }^{*}m)}}cosθ=(lTCl)(mTCm)lTCm

  其中C∞∗C_{\infty }^{*}C是与虚圆点对偶的二次曲线。

结论4 一旦二次曲线C∞∗C_{\infty }^{*}C在射影平面上被辨认,那 么欧氏角可以测量。

结论5 如果lTC∞∗m=0l^TC_{\infty }^{*}m=0lTCm=0, 则直线lllmmm正交。

结论6 一旦二次曲线C∞∗C_{\infty }^{*}C在射影平面上被辨认,长度比同样可以测量。

###4.由图像恢复度量性质

  把虚圆点变换到它们的标准位置,就可以由平面的图像恢复度量性质。对偶二次曲线C∞∗C_{\infty }^{*}C几乎包含了实现度量矫正所需的全部信息。它能确定射影变换中的仿射和射影成分,而只留下相似变换的失真。

结论7 在射影平面上,一旦 C∞∗C_{\infty }^{*}C辨认, 那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。

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