【bzoj 4451】[Cerc2015]Frightful Formula - 递推

　　才没有在做cerc2015呢
　　看到好像不少人这题写fft卡得死死的啊，不如$O(n)$ 递推（雾）
　　首先可以观察出$(i,1)$这个格子为$x$时对$(n,n)$ $a,b$单独的贡献为$x\binom{n-2+n-i}{n-i}a^{n-1}b^{n-i}$，$(1,i)$格子同理。这两部分可以直接xjb算出来。
　　考虑$(i,j)$格子的$c$对$(n,n)$的贡献，为

$$\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^{n} \binom{(n-i)+(n-j)}{n-i} a^{n-i}b^{n-j}c$$
　　后面的$c$先不管，先把这个式子xjb变换一下。
　　 $$\sum_{i=2}^n a^{n-i} \sum_{j=2}^n \binom{2n-i-j}{n-i} b^{n-j} 　　\\=\sum_{i=0}^{n-2}a^i \sum_{j=0}^{n-2} \binom{i+j}{i} b^j$$
　　其实推到这里就可以做了，注意到把组合数拆开了之后是两个指数生成函数的卷积的系数和（差不多这个意思），就可以直接上fft了。
　　但是这样太优美了不够暴力
　　继续把它推下去吧。
　　我们设 $$f_n=\sum_{i=0}^{n}a^i \sum_{j=0}^{n} \binom{i+j}{i} b^j$$
　　那么答案就是$f_{n-2}$，现在考虑怎么搞出个递推式。我们可以把前$n-1$项都提出来。
　　 $$f_n=f_{n-1}+a^n\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n+i}{i}b^{i}+b^n\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n+i}{i}a^i+\binom{2n}{n}a^nb^n$$
　　注意到中间有两个东西是一样的，那么可以继续设 $$g_n(x)=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n+i}{i}x^i$$
　　把组合数拆了，继续推吧= =
　　 $$g_n(x)=\sum_{i=0}^{n-1}(\binom{n-1+i}{i} + \binom{n-1+i}{i-1})x^i 　　\\ = g_{n-1}(x)+\binom{2n-2}{n-1}x^{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}\binom{n+i}{i}x^{i+1}\\=g_{n-1}(x)+\binom{2n-2}{n-1}x^{n-1}+xg_n(x)-\binom{2n-1}{n-1}x^n$$
　　移一下项，得到
　　 $$g_n(x)=(g_{n-1}(x)+\binom{2n-2}{n-1}x^{n-1}-\binom{2n-1}{n-1}x^n)/(1-x)$$
　　把$g_n(x)$代入$f_n$，有
　　 $$f_n=f_{n-1}+a^ng_n(b)+b^ng_n(a)+\binom{2n}{n}a^nb^n$$
　　好的到这里$g_n(x)$就可以$O(n)$算了。。。于是$f_n$也可以$O(n)$算了。
　　注意一下$g_n(0)$和$g_n(1)$不用递推，直接算就好。
　　于是在$O(n)$内就做完啦。
　　代码太丑就不贴了。