Codechef June15 ChefBook - 线性规划

　　来自2016集训队作业。

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　　有$2n$个变量$x_i,y_i$,给定$m$个约束$L_i\leq x_{a_i}-y_{b_i}+W_i\leq R_i$，最大化$\sum_i x_{a_i}-y_{b_i}$。

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　　相当于是有$2m$个约束
　　

$$x_{a_i}-y_{b_i}\leq R_i-W_i \\ 　　y_{b_i}-x_{a_i}\leq W_i-L_i$$
　　设$in_u,out_u$分别为出度、入度，则最优化条件相当于
　　 $$\max \sum_u out_u x_u - in_u y_u$$
　　这是个线性规划，考虑将其对偶，可以得到
　　 $$\sum_{(u,v)\in E} x_{u,v}-y_{u,v} \geq out_u , \forall u \in V$$
　　 $$\sum_{(u,v)\in E} y_{u,v}-x_{u,v} \geq in_v, \forall v \in V$$
　　 $$\min \sum_{(u,v)\in E} (R_{u,v}-W_{u,v})x_{u,v} -(W_{u,v}-L_{u,v})y_{u.v}$$
　　将所有的约束加起来，得到$0\geq 0$，所以所有的等号必须取到。
　　考虑建图，则按照流量平衡，每个变量作为一条边，符号对应出/入流，费用为最优化式子中的系数，按符号往源或汇连容量为常数项的边，跑最小费用最大流得到的就是答案了。
　　然后来看怎么出一组解。首先初始的约束是个差分约束系统，可以先判有无解；费用流跑出来的网络里某个变量代表的边有流量也即这个变量大于0，可知原问题对应的约束取到了等号，所以往差分约束里加上这个等式。这样跑出来的就是一组合法的解了。
　　要注意答案非负，所以最后对所有变量都减去变量中的最小值。
　　时间复杂度。。。$O(跑得过但是很慢)$。。。