同余方程组——中国剩余定理の板子

中国剩余定理

中国剩余定理（CRT）是求解形如

$$x \equiv a_1(mod\space m_1)$$ $$x \equiv a_2(mod\space m_2)$$ $$x \equiv a_3(mod\space m_3)$$ $$......$$ $$x \equiv a_k(mod\space m_k)$$
的同余方程组的一种算法。一般的中国剩余定理要求 $m_1,m_2,...,m_k$两两互质，但它的扩展算法可以处理不互质的情况。

一般情况

当$m_1,m_2,...,m_k$两两互质的时候，上面提到的同余方程组一定有整数解。设$M=m_1\times m_2\times...\times m_k$，也就是M是所有模数的最小公倍数，那么上面的同余方程组在模M的意义下有唯一解。

那么中国剩余定理又是如何求解这个同余方程组的呢？首先我们要知道一个东西就是：如果一个整数$N$满足$N\space mod \space m=k$，那么对于任意整数v，有$(v \times N)\space mod \space m \equiv (v \times k)\space mod \space m$。这个东西正确性比较显然啦，设$N=r\times m+k$然后往里一代就可以证明了。

那么仍然回到上面的同余方程组，如果我们能够求解出这样的一些 N