中国剩余定理讲解

前言

作者知道网上有很多关于中国剩余定理的详细讲解，也知道本文相比于它们会逊色许多，但作者会尽力将其讲清楚。谢谢支持！

（本篇文章默认你已经知道什么是模意义，且知道逆元以及简单的模运算）

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问题

对于一个数x，已知$x\equiv s1(mod$ $m1)$, $x\equiv s2(mod$ $m2)$, …… $x\equiv s_n(mod$ $m_n)$，并且保证$\forall {i,j}$有$gcd(m_i,m_j)=1$，求x的最小值。

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求解

上述问题所给的等价式有个更书面的名字，叫同余方程组。现在我们考虑如何求得最小值。

我们令M=$\prod_{i=1}^n m_i$，稍加思考可以得知$x+M\equiv s_i(mod$ $m_i)$。故我们可以计算出在模M意义下的x值，也同样可知x在模M意义下的值即是最小答案。（模数比M小不能保证正确）

那么，如何求得x值呢？我们可以考虑构造答案。

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构造

我们可以考虑构造$x=A_1+A_2+A_3+……+A_n$，其中$A_i$是跟$m_i$有关的量。

我们思考一下模运算的性质：

$$A_1+A_2+A_3\equiv y(mod\ m)$$ $$(A_1mod\ m)+(A_2mod\ m)+(A_3mod\ m)\equiv y(mod\ m)$$

观察上面的式子，我们发现假如同时满足以下2条约束，那么答案x即是合法的：
1.对于$j\neq i,\ A_j\mod\ m_i = 0$；
2.$A_i\mod\ m_i = s_i$。

不难发现只要$A_i$是除$m_i$之外其他$m_j\ (1\le j \le n 且 j\ !=\ i)$的公倍数即可满足约束1，结合$gcd(m_i,m_j)=1$可知$A_i$ 一定有因子 ${M \over m_i}$。（M的意义见上一节）

那么如何满足约束2呢？

我们不难发现$A_i$一定含有因子$s_i$， 但是因子${M \over m_i}$的影响如何消除？其实只要乘上$M\over m_i$在模$m_i$意义下的逆元就行了。

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整理

综合上述分析，我们令M=$\prod_{i=1}^n m_i$， $N_i={M \over m_i}$， $N_i^{-1}$为$N_i$关于模$m_i$意义下的逆元，

那么$A_i = N_i\times N_i^{-1}\times s_i$， 答案x即为$\sum_{i=1}^n A_i(mod\ M)$。

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总结

1.构造是一种十分常见且有效的求解答案的方法，若发现题目本身约束太多且各个约束存在独立的结果，可以分析题目性质考虑构造答案。
2.中国剩余定理所能解决的范围仅限于模数互质，求解非互质的模数的同余方程组中国剩余定理并不适用。

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$\mathscr ——wrote\ by\ miraclejzd$