同余问题1（超详细！！！）

同余基本概念

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剩余系

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欧拉函数

欧拉函数φ(n)表示1~n中所有与n互质的数。比如1~8中与8互质的数有1,3,5,7，所以φ(8)=4。

公式1：如果p是素数，有φ(p)=p-1。 

公式2（积性）：如果(a,b)=1，有φ(a*b)=φ(a)*φ(b)，

--->以下是公式二的证明过程

设模a的一个简系为a1,a2,a3,…,aφ(a)，模b的一个简系为b1,b2,b3,…,bφ(b) 现在我们要证明：所有ai∗b+bj∗a（共φ(a)*φ(b)个）组成了模a*b的一个简系（即φ(a*b)=φ(a)*φ(b)）。 判定简系需要证明下面三点：

1. (ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。

2. ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)

3. 对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)（即没有遗漏）

证明1：  (ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。

因为(a,ai)=1,(a,b)=1，所以(a,ai*b)=1，由辗转相除法可得(a,ai*b+bj*a)=(a,ai*b)=1，同理得(b,ai*b+bj*a)=1。 所以1得证。

证明2：  ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)

证明3： 对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)

所以φ(n)是积性函数（但不是完全积性，因为要满足(a,b)=1）。 有了这个公式，就可以推得欧拉函数的通项公式。

又因任意两个p互质（没有共同质因子），

所以：