电子学杂记篇3-永不过时的补码

 “补码”（英文表示为：2’s Complement）是数字电子学中一个非常重要的概念，它广泛应用于各种数字系统中（比如计算机、FPGA系统），主要用来表示负数。

博主小飞遇到过很多FPGA初学者，甚至是一些FPGA老手，遇到FPGA处理负数时，就焦头烂额、无从下手，原因无外乎两个：

一是不了解verilog处理负数的语法（博主小飞在verilog专栏中已详细介绍）；

二是曾经的数电没学好，特别对“补码”这块知识要点可能一知半解。

本篇博主小飞主要介绍数字电子学中补码的相关要点，如果大家对补码很了解，或者说处理负数时得心应手，就不用在这里浪费宝贵的时间了~

要点1：为什么会有补码？

补码允许表达负数，也可以理解为创造补码就是为了方便减法运算的。

要点2：给定一个二进制数（原码），那么它的补码怎么得到？

根据规则，二进制原码的补码为原码所有位取反，然后在最低位加1，简称取反加1。例如4bit位宽的二进制数（原码）1001的补码为0110+1=0111；8bit位宽的二进制数（原码）00100110的补码为11011001+1=11011010。

要点3：如果已经知道了一个二进制数（原码）的补码，那么该二进制数（原码）怎么得到？

同样的和要点2一样，将该补码取反加1，即得到原始的二进制数（原码）。

附：可能很多小伙伴就有疑问了，一个数取反加1就得到它的补码，而该补码取反加1为什么又回到了原码呢？难道不应该是补码先减1再取反得到原码吗？其实这两种都对！但是后一种想法是咱们一贯的思路，在计算机系统内不能采取这种方法。前一种方法则是“补码”的精髓了，即补码的补码即为原码，大家需要去细品（我国的“阴阳”概念）！

博主小飞在这里多说一句：在位宽固定的情况下，补码和原码之和为0（舍去最高位进位）！

要点4：求一个二进制数的补码，除了取反加1外，还有一种非常快捷的实现方式。当我们看到一个二进制数，就能立马写出它的补码！

规则如下：从二进制数的最低位开始往左看，当遇到第一个1时，这个1左边所有位全部取反，1本身包括1右边的所有位保持不变，得到的结果即为补码。如下图所示：

通过以上的介绍，我们知道了原码和补码之间的转换关系，但是这和负数有什么关系呢？且听博主小飞慢慢道来~

在任何计算系统中，必须能同时处理正负数。带符号二进制数含有符号和数值信息，符号指明这个数是正数还是负数，而数值就是该数的绝对值。

在二进制中，带符号数有三种表达方式：符号-数值、反码以及补码，其中补码是最重要的表达方式！

符号-数值表达方式：

最左边的一位是符号位，其余的都是数值位。数值位对正数和负数来说都是二进制原码（相当于数学中描述的绝对值）。例如：

十进制数+25表示为8位宽符号数的二进制形式就是：

十进制数-25表示为8位宽符号数的二进制形式就是：

所以在符合-数值表示方式中，负数和其对应的正数具有相同数值位，唯一区别是符号位。

反码表达方式：

反码形式表示正数时，和符号-数值表达方式相同。但是反码形式表示负数时，负数却是其相应正数的反码。例如：

十进制数+25表示为8位宽符号数的二进制形式就是：

十进制数-25表示为8位宽符号数的二进制形式就是+25（00011001）的反码：

11100110

补码表达方式：

正数的补码表达方式和符合-数值表示方法相同（也就是它本身），但是负数却是相应正数的补码。同样，使用8位数字，把十进制数-25表示成+25（00011001）的补码：

11100111

所以我们要明白，计算机处理负数时，要先把这个负数转化成其正数的补码后再进行下一步操作！负数在计算机内的表示方式不是符号-数值、也不是反码，只有补码！

 

现在我们知道：只要给出一个有符号十进制数，如果它是正数，则在计算机内它是按符号-数值方式表示；如果它是负数，则在计算机内按其正数的补码来表示。

 

那么，如果我们看到在计算机内部的一个8位有符号二进制数，比如01010110和10101010，我们如何得知它的十进制数是多少呢？博主小飞将介绍两种实用方法：

方法1：2次幂加权方法

在补码表达方式中，不管是正数还是负数的十进制值，都是把所有位相应2次幂表示的权加起来得到的，其中最高位的2次幂权为负。下面举例：

有符号数01010110的十进制值为：

把所有位置为1的权加起来：

64 + 16 + 4 + 2 = +86

有符号数10101010的十进制值为：

把所有位置为1的权加起来：

-128 + 32 + 8 + 2 = -86

所以对于补码形式而言，无论是正数还是负数，都使用同一套加权规则即可转化成十进制数，这也是补码的方便之处！

方法2：眼观法

首先看有符号二进制数的最高符号位，为0，则是正数，我们按照一般规则转换成十进制；为1，则是负数，我们按照上文中的要点3或4求其补码即可得其对应的二进制正数（也可称为原码），再按一般规则转换成十进制数，最后添加负号即可。

比如8位有符号数11111110是十进制数多少呢？如果我们按照方法1就会很麻烦，但是按照方法二，很快就能知道是-2.

 

正如上面所说的2次幂加权方法，我们知道了在补码表达形式的计算机系统里，有符号二进制数的最高位的权重应该是带负号。因此我们可以推算出，对于一个n位的有符号二进制数，其十进制数值范围应该是：

例如4位的有符号数，其范围为-8 ~ +7（1000~0111），共表示16个数。

例如8位的有符号数，其范围为-128 ~ +127（10000000~01111111），共表示256个数。

 

再次提醒小伙伴们，补码的概念和应用都非常重要，所有的负数都是用补码表示的！即使你现在还没用到补码，以后也肯定会碰到的，博主小飞现在把补码的重点都浓缩在这一篇博文中供大家参考，大家如果一遍不理解，就多看几遍噢~