BZOJ3129: [Sdoi2013]方程

最新推荐文章于 2019-03-31 09:55:00 发布

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分类专栏： Lucas定理中国剩余定理排列组合扩展欧几里得

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ep1C_HeReT1c/article/details/72834202

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本文详细解析了BZOJ3129题的解题思路，通过质因数分解找到关键数值，利用隔板法计算组合数，并采用容斥原理处理数值范围限制，最终通过中国剩余定理合并结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

BZOJ3129

挺好的一道题呀。
其实 $p$ 只会有三个值10007,262203414,437367875
将三个值分解质因数最大的也只有 $101^2$ 。数组可以开的下，不然就不可做了。
首先考虑没有限制。每一个任取，那就是隔板法 $ans=C_{m-1}^{n-1}$
对于 $x_i>=a_i$ 的限制，可以看做，第 $i$ 个预先放好 $a_i-1$ 个，将 $m$ 减去 $a_i-1$ 然后隔板法。（高中排列组合 $QAQ$ ）
然后在考虑 $x_i<=a_i$ 的限制。。好像没办法用一些排列组合的知识直接解决。
然后看到 $n1，n2<=8$ 。好像可以容斥！那么就考虑 $x_i>a_i$ 的情况然后容斥一下。
统计答案就是 $-$ 奇数个, $+$ 偶数个。
后面容斥的时候是减 $a_i$ 不是 $a_i-1$ 。。 $QAQ$ 卒于该点，傻不拉几的想都没想就直接打 $-1$ 。
大组合数取模类似BZOJ2142
然后最后每次 $CRT$ 合并一下，就结了。
。。偷懒没预处理阶乘和阶乘逆元跑了 $23s$ +。改一下就 $248ms$ 了。

【代码】

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 10205
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
typedef long long ll;

ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int T,Mod,n,m,n1,n2,cnt;
int a[20];
ll p[10],pc[10],Fac[2][10][N],ans,tot,tmp;

void Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b) {
        Exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
    else x=1,y=0;
}

ll Inv(ll a,ll b)
{
    ll x,y;
    Exgcd(a,b,x,y);
    return (x%b+b)%b;
}

void Divide(int x)
{
    for(int i=2;i*i<=x;i++) if(x%i==0)
    {
        p[++cnt]=i,pc[cnt]=1;
        while(x%i==0) x/=i,pc[cnt]*=i;
    }
    if(x!=1) p[++cnt]=pc[cnt]=x;
    for(int j=1;j<=cnt;j++)
    {
        Fac[1][j][0]=Fac[0][j][0]=1;
        for(int i=1;i<pc[j];i++) Fac[1][j][i]=Fac[1][j][i-1]*(i%p[j]?i:1)%pc[j];
        for(int i=1;i<pc[j];i++) Fac[0][j][i]=Fac[0][j][i-1]*(i%p[j]?Inv(i,pc[j]):1)%pc[j];
    }
}

ll Qpow(ll x,ll y,ll mod) {
    ll rtn=1;
    while(y) {
        if(y&1) rtn=rtn*x%mod;
        x=x*x%mod;y>>=1;
    }
    return rtn;
}

ll Calc(int now,int P,int Pc,int i,int j)
{
    if(now<P) return Fac[j][i][now];
    tot+=now/P;
    return Fac[j][i][now%Pc]*Qpow(Fac[j][i][Pc-1],now/Pc,Pc)%Pc*Calc(now/P,P,Pc,i,j)%Pc;
}

ll Get_Ans(int now,int nn,int P,int Pc,int i)
{
    tot=0;
    ll t1=Calc(now,P,Pc,i,1);
    tmp=tot;tot=0;
    ll t2=Calc(nn,P,Pc,i,0)*Calc(now-nn,P,Pc,i,0)%Pc;
    return t1*t2%Pc*Qpow(P,tmp-tot,Pc)%Pc;
}

ll Solve(int now,int nn)
{
    if(now<nn) return 0;
    ll rtn=0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        ll r=Get_Ans(now,nn,p[i],pc[i],i),Mi=Mod/pc[i],t2=Inv(Mi,pc[i]);
        rtn=(rtn+r*Mi%Mod*t2%Mod)%Mod;
    }
    return rtn;
}

void Input_Init()
{
    n=read(),n1=read(),n2=read(),m=read();ans=0;
    for(int i=1;i<=n1+n2;i++) {
        a[i]=read();
        if(i>n1) m-=a[i]-1; 
    }
}

void Work()
{
    for(int i=0;i<(1<<n1);i++)
    {
        int sum=0,f=1,now=m;
        for(int j=0;j<n1;j++) if(i&(1<<j)) sum++,now-=a[j+1];
        if(sum&1) f=-1;
        ans=(ans+f*(Solve(now-1,n-1))+Mod)%Mod;
    }
    printf("%lld\n\n",ans);
}

int main()
{
    T=read(),Mod=read();
    Divide(Mod);
    while(T--)
    {
        Input_Init();
        Work();
    }
    return 0;
}