[BZOJ3202][Sdoi2013]项链（数学）

一、分析

• 莫比乌斯反演
• Polya计数
• 欧拉函数
• 矩阵乘法
• 特征根与通项公式
• 组合数学
• 逆元相关

出题人太厉害了！这道题真的是数学大融合啊！各种数论算法一起上场。。。。

二、求$m$

$m$ 是指有多少种不同的珠子。
如果不要求三个数的 $\gcd$ 等于 $1$ ，那么 $m$ 就是在 $a$ 个数中取出 $3$ 个数（ $3$ 个数可以相同，但像 $1\>2\>3$ 和 $2\>1\>3$ 这两种只能算一种方案）的方案数。
也就是：

$$m=\frac{a\times(a+1)\times(a+2)}{6}$$ 。
下面都把 $\frac{x\times(x+1)\times(x+2)}{6}$ 记做 $r(x)$ 。
如果要求三个数的 $\gcd$ 等于 $1$ ，则方案数等于：
$$\sum_{i=1}^a\sum_{j=i+1}^a\sum_{k=j+1}^a[\gcd(i,j,k)=1]$$
这是一个明显的莫比乌斯反演！
整理后得到：
$$上式=\sum_{i=1}^a\sum_{j=i+1}^a\sum_{k=j+1}^a\sum_{d|\gcd(i,j,k)}\mu(d)$$
$$=\sum_{d=1}^a\sum_{i=1,d|i}^a\sum_{j=i+1,d|j}^a\sum_{k=j+1,d|k}^a\mu(d)$$
$$=\sum_{d=1}^a\{r(\lfloor\frac{a}{d}\rfloor)\times\mu(d)\}$$
用 $10^7$的复杂度预处理 $\mu(d)$的前缀和后，就能在 $\sqrt a$的时间内求出 $m$了。

三、主要思想

如果不考虑相邻的两个珠子是否相同，则根据Polya计数，可以得到答案为：

$$\frac1n\sum_{i=1}^nm^{\gcd(i,n)}$$
而如果相邻的两个珠子必须不同，那么