P2764 最小路径覆盖问题

题意

给定有向图 $G=(V,E)$。设 $P$ 是 $G$ 的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果 $V$ 中每个定点恰好在$P$的一条路上，则称 $P$ 是 $G$ 的一个路径覆盖。$P$中路径可以从 $V$ 的任何一个定点开始，长度也是任意的，特别地，可以为 0 。$G$ 的最小路径覆盖是 $G$ 所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个 $GAP$ (有向无环图) $G$ 的最小路径覆盖。

思路

有一个定理：最小路径覆盖数=|G|-二分图最大匹配数（|Ｇ|是有向图中的总边数）
所以若当前图若没有边的话，就是每个节点都算一条路径，就是$V$条路径，每连一条边，都少一条路径，这个定理是成立的，所以要尽量多连边，才能使最小路径覆盖数最小，若当前图存在一些边的话，要求最小覆盖数，把这个图当做二分图求最大匹配数就好了。
对于本题：拆点，把每个点拆成一个入点和一个出点，再把给出的边$u-v$连上，就是用u的出点连v的入点，再建立超级源点，汇点，讲所有的入点与超级源点连起来，把所有出点与超级汇点连起来，构成一个二分图，跑最大流，要求输出每一条路径，可以顺便记录下路径。
洛谷上偷张图：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m, s, t, h[N], cnt, dep[N], cur[N], to[N], tag[N];
struct node {
    int v, w, nt;
} no[N];
void add(int u, int v, int w) {
    no[cnt] = node{v, w, h[u]};
    h[u] = cnt++;
}
int bfs() {
    queue<int> q;
    memset(dep, 0, sizeof dep);
    dep[s] = 1;
    q.push(s);
    while(!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for(int i = h[u]; ~i; i = no[i].nt) {
            int v = no[i].v;
            if(!dep[v] && no[i].w > 0) {
                dep[v] = dep[u] + 1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return dep[t] > 0;
}
int dfs(int u, int flow) {
    if(u == t)
        return flow;
    for(int i = cur[u]; ~i; i = no[i].nt) {
        int v = no[i].v;
        if(dep[v] == dep[u] + 1 && no[i].w > 0) {
            int res = dfs(v, min(flow, no[i].w));
            if(res > 0) {
                no[i].w -= res;
                no[i ^ 1].w += res;
                if(u != s && v != t)
                    to[u] = v;//记录路径
                if(u != s)//记录本节点非路径的根节点
                    tag[v - n] = 1;
                return res;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic() {
    int res = 0;
    while(bfs()) {
        for(int i = 0; i <= cnt; i++)
            cur[i] = h[i];
        while(int d = dfs(s, INF))
            res += d;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(!tag[i]) {
            int u = i;
            printf("%d ", u);
            while(to[u] && to[u] != t) {
                printf("%d ", to[u] - n);
                u = to[u] - n;
            }
            puts("");
        }
    }
    return res;
}
int main() {
    //freopen("1.in", "r", stdin);
    memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    t = 2 * n + 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        add(s, i, 1), add(i, s, 0);
        add(i + n, t, 1), add(t, i + n, 0);
    }
    for(int u, v, i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        add(u, v + n, 1), add(n + v, u, 0);
    }
    printf("%d\n", n - dinic());
    return 0;
}