信息增益：决策树中的熵与树生长

熵是信息理论中的一个重要概念，用于衡量系统的不确定性。在决策树算法中，熵被用来计算每个特征对于分类结果的不确定性，进而决定如何构建决策树的分支。本文将详细介绍熵的定义、熵的计算公式，以及决策树如何利用熵的递减来进行树枝分叉和树的生长。

1. 什么是熵？

熵是信息理论中的一个概念，用于衡量系统的不确定性或混乱程度。在决策树算法中，熵用于衡量给定数据集的纯度。纯度越高，熵越低，表示数据集的分类结果越确定。

2. 熵的计算公式

对于一个二分类问题，假设有两个类别，分别记为A和B。给定一个数据集D，其中包含n个样本，记为D={x1, x2, …, xn}，每个样本xi都有一个类别标签yi，取值为A或B。

熵的计算公式如下：

Entropy(D) = -p(A) * log2(p(A)) - p(B) * log2(p(B))

其中，p(A)表示类别A在数据集D中的比例，p(B)表示类别B在数据集D中的比例。熵的取值范围为0到1，当数据集D中的样本全部属于同一类别时，熵为0；当数据集D中的样本均匀分布在两个类别时，熵为1。

3. 决策树的生长过程

决策树的生长过程可以分为递归地选择最佳特征、分割数据集和生成子节点的过程。在每次选择最佳特征进行分割时，决策树算法会计算信息增益，从而确定最佳的分割方式。

信息增益表示通过使用特征A来对数据集进行分割所获得的纯度提升。信息增益越高，表示使用特征A进行分割后，数据集的不确定性减少得越多。

信息增益的计算公式如下：