这篇博客详细探讨了组合数学中的球盒问题，包括8种不同情况的解决方案：球相同盒不同、球不同盒相同等。文章通过插板法、动态规划和斯特林数等概念，阐述了如何计算在不同约束条件下的方案数，并强调了解决此类问题的化归思想的重要性。
球盒问题是组合数学中的经典问题，问题统一一下就是这样：
有 nnn 个(不)同的球，放进 mmm 个(不)同的盒子里，(不)允许有空盒，求方案数。
根据上面的描述可以看出，这个问题总共有 888 种情况，我们一个一个来看。为了方便起见，我们只考虑有解的情况 。
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球相同，盒不同，无空盒
Cn−1m−1C_{n - 1}^{m - 1}Cn−1m−1
可以用插板法，nnn 个球中总共有 n−1n - 1n−1 个空隙，根据条件，我们只需要在 n−1n - 1n−1 个空隙中插 m−1m-1m−1 个板子即可。
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球相同，盒不同，有空盒
Cn+m−1m−1C_{n + m - 1}^{m - 1}Cn+m−1m−1
既然允许有空盒，那么我们可以多加 mmm 个“虚”的球，预先塞进每个盒子。
这样问题就化归成了有 n+mn + mn+m 个相同的球和 mm
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