【组合数学整理】8种球放盒子+错排+卡特兰数（Catalan number）

目录

一.8种球放盒子

1.VI不同的球放进相同的盒子里，不允许为空：

2.V不同的球放进相同的盒子里，允许为空：

3.VII不同的球放进不同的盒子里，允许为空：

4.VIII不同的球放进不同的盒子里，不允许为空：

5.IV相同的球放进不同的盒子里，不允许为空：

6.III相同的球放进不同的盒子里，允许为空：

7.II相同的小球放进相同的盒子里，不允许为空：

8.I相同的小球放进相同的盒子里，允许为空：

二.错排

三.卡特兰数

1.几个例子：

2.解决方案：

3.关联性的解释

4.判断方式

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一.8种球放盒子

情况	球（n）	盒子（k）	可以空/不允许空
I	√	√	√
II	√	√	×
III	√	×	√
IV	√	×	×
V	×	√	√
VI	×	√	×
VII	×	×	√
VIII	×	×	×

                                                √：相同/可以空；×：不相同/不允许空；

以上是八种搁置球的要求。

我们首先来考虑第IV种情况，

1.VI不同的球放进相同的盒子里，不允许为空：

我们把表示把 n 个不同的数划分为 k个集合的方案数，要求不能为空集，写作 S ( n , k )，类似这样的数称之为第二类斯特林数（stiling）。

类似于这样的问题，如果存在‘1’这个东西，我们首先考虑对于‘1’的判断，然后分成两种没有交集且并集为全集的情况，这个也将成为我们接下来几乎所有问题的思考方式和解题思路。

 这里，我们队对1’的两种情况的讨论分为：“‘1’自己独占一个盒子”以及“‘1’和其他小球共同占有一个盒子”这两种情况。显而易见，这两个情况加和就是所有情况，所以分别表示两种情况然后使用加法原理就可以得出递推式了。

显然“‘1’自己独占一个盒子”这一种情况就是S（n-1,k-1），第二种情况就是少了一个‘1’球，然后剩下的n-1个球再在k个盒子里排序，也就是S（n-1,k），接着就是‘1’将要放到这些盒子里，虽然盒子是一样的，但是里面放了球巨变的不一样的所以，‘1’一共是有k种方案放入盒子中的，乘法原理，第二种情况的式子变为kS（n-1,k-1）。

于是我们得到了第VI个问题的递推式：

然后就是要考虑和第六种情况只有盒子可空这一条不同的问题V。

2.V不同的球放进相同的盒子里，允许为空：

所有的东西和问题VI完全一样，只是因为盒子可以为空，所以我们只要将使用的i个盒子的情况进行加和，那么这个情况就解决了。

第V个问题的递推式：

然后我们再来看看第VII和第VIII个问题。

3.VII不同的球放进不同的盒子里，允许为空：

这个就完全是高中的排列组合了，每一个球有k种不同的选择，一共有n个球，然后……就没有然后了。总之，就比较简单。

第VII个问题的式子：

4.VIII不同的球放进不同的盒子里，不允许为空：

再一次类比第VI个问题，这个问题和第VI的区别只在于盒子是否有区别，也就是将盒子先排好（k!），然后再往里头放球，乘法原理。

第VII个问题的递推式：

这种题比较经典，来一道裸的例题吧。

P1287 盒子与球

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll S(int n,int m){
    if(m<=0||n<m)
        return 0;
    if(n==m)
        return 1;
    else
        return S(n-1,m-1)+S(n-1, m)*m;
}
ll fac(int i){
    if(i==1)
        return 1;
    else
        return i*fac(i-1);
}
int main(){
    ll n,m;
    cin>>n>>m;
    cout<<S(n,m)*fac(m);
    return 0;
}

清晰明了。

紧接着我们来思考第IV个问题，

5.IV相同的球放进不同的盒子里，不允许为空：

这个问题我们直接可以转化为……这个方程组中，满足为自然数的解的组数。

那么，就有了两种思考方式：“整数拆分然后乘上k!”以及“烧饼油条问题”：

整数拆分会在第I个问题中说明，这里不赘述。

至于“烧饼油条问题”，也就是我们平常讲得“隔板法”，也就相当于把1-n个小球排成一列，在中间k-1个间隙中放置隔板（两侧不能放），隔板不能重合放置——因为要求不能有空盒子。接着这个问题就完全的转化为了组合问题，在n-1个中选择k-1个。

第IV个问题的式子：

6.III相同的球放进不同的盒子里，允许为空：

和问题IV一样，都是转化为……