8种球盒问题(110型，100型）

由上文可知，110型的含义是：n个有区别的球，放在m个有区别的盒中，无空盒的方案数。

 用母函数求解：

为了求100型，首先求110型。

 

G_e(x)=(x+x²/2!+...++xⁿ/n!)^m=(e^x-1)^m

二项式展开有

 其中xⁿ/n!的系数是

如果盒无区别（100型），则除以m！，去掉盒的冗余性。即。

 

这个数也称作第二类司特林数，S₂(n,m)。

 

因此100型的方案数为S₂(n,m)，110型的方案数为m!S₂(n,m)

 用容斥定理求解：

令Ai表示第i盒为空盒的子集，

n个有区别的球，放在m个有区别的盒子中，无空盒的方案数(110型)：

全体事件为S = mⁿ

|A₁|+|A₂|...+|A_n|=m(m-1)ⁿ=

...

 

则有

当盒无区别时，即100型，只需要除掉盒号冗余度即可，所以S2(n,m)=。

 

 

110型可以看做是X集到Y集映射的全部函数集中满射函数的数量。m=n时，可以看作是X集到Y集映射的全部函数集中双射函数的数量。

 

参考阅读：8种球盒问题（111型）