高等数学笔记：已知通解的微分方程

已知通解的微分方程-朗斯基行列式

01 理论基础

(1) $n$ 阶形式

• 对于 $n$ 阶微分齐次方程，它的通解为 $C_1{y}_1+C_2{y}_2+\cdots +C_n{y}_n$，设 $y$ 为该齐次方程的任意解，

• 那么显然有 $y,y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 线性相关，即：∣yy1⋯yny′y1′  ⋮  ⋮⋱yn(n−1)y(n)⋯yn−1(n)yn(n)∣=0\displaystyle{\left|\begin{array}{lll} y & y_1 & \cdots & y_{n}\\ y' & y_1' & & \ \ \vdots\\ \ \ \vdots & & \ddots & y_{n}^{(n-1)} \\ y^{(n)} & \cdots & y_{n-1}^{(n)} & y_{n}^{(n)} \end{array}\right|=0} ​yy′  ⋮y(n)​y1​y1′​