高等数学笔记：已知通解的微分方程

已知通解的微分方程-朗斯基行列式

01 理论基础

(1) $n$ 阶形式

• 对于 $n$ 阶微分齐次方程，它的通解为 $C_1{y}_1+C_2{y}_2+\cdots +C_n{y}_n$，设 $y$ 为该齐次方程的任意解，

• 那么显然有 $y,y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 线性相关，即：$\left|\begin{array}{lllc}y& y_1& \cdots & y_n\\ y^{\prime }& y_1^{\prime }& & ⋮\\ ⋮& & \ddots & y_n^{(n-1)}\\ y^{(n)}& \cdots & y_{n-1}^{(n)}& y_n^{(n)}\end{array}\right|=0$ .

(2) 二阶形式

• 对于二阶微分齐次方程，它的通解为 $C_1{y}_1+C_2{y}_2$，设 $y$ 为该齐次方程的任意解，
• 那么显然有 $y$，$y_1$，$y_2$ 线性相关，即：$\left|\begin{array}{llc}y& y_1& y_2\\ y^{\prime }& y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\\ y^{\prime \prime }& y_1^{\prime \prime }& y_2^{\prime \prime }\end{array}\right|=0$ .

(3) 三阶形式

• 对于三阶微分齐次方程，它的通解为 $C_1{y}_1+C_2{y}_2+C_3{y}_3$，设 $y$ 为该齐次方程的任意解，

• 那么显然有 $y$，$y_1$，$y_2$，$y_3$ 线性相关，即：$\left|\begin{array}{llcc}y& y_1& y_2& y_3\\ y^{\prime }& y_1^{\prime }& y_2^{\prime }& y_3^{\prime }\\ y^{\prime \prime }& y_1^{\prime \prime }& y_2^{\prime \prime }& y_3^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime \prime }& y_1^{\prime \prime \prime }& y_2^{\prime \prime \prime }& y_3^{\prime \prime \prime }\end{array}\right|=0$ .

02 例题解析

• 已知 $y_1=3$，$y_2=3+x^2$，$y_3=3+e^x$ 是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及通解。

• 答案：$\left(2x-x^2\right)y^{\prime \prime }+\left(x^2-2\right)y^{\prime }+2(1-x)y=6(1-x)$ .