高等数学笔记：二元微分极坐标在原点

二元微分极坐标在原点

01 原点处函数是否可微？

• 一般的，我们利用定义法判断可微：
  • $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=存在?$ .
  • $\underset{r\to 0}{\lim }\frac{f(r,\theta )-f(0,0)}{r}=存在?$ .

02 原点处函数是否连续？

(1) 理论

• 判断 $r\to 0$ 时的极限，$\underset{r\to 0}{\lim }f(r,\theta )=存在?$ .
• 注意，与 $x,y$ 的关系类似，$r$ 与 $\theta$ 依然存在无穷小路径

(2) 例题

$x\to 0$，$y\to 0$，$r\to 0$，

1.$L=\frac{\sin x{y}^2}{x^2+y^2}$ .

• 当 $x=0$ 且 $y=0$ 时，
  • $L=\frac{\sin x{y}^2}{x^2+y^2}=\frac{0}{x^2+y^2}=0$ .
• 当 $x\ne 0$ 且 $y\ne 0$ 时，
  • $L=\frac{\sin x{y}^2}{x^2+y^2}=\frac{x{y}^2}{x^2+y^2}=\frac{r^3{\cos }^{}\theta {\sin }^2\theta }{r^2}$ .
  • $L=\cdots =r{\cos }^{}\theta {\sin }^2\theta =0$ .

2.$L=\frac{\sin x{y}^2}{x^3+y^2}$ .

• 当 $x=0$ 且 $y=0$ 时，
  • $L$ 显然为 $0$ .
• 当 $x\ne 0$ 且 $y\ne 0$ 时，
  • $L=\frac{\sin x{y}^2}{x^3+y^2}=\frac{x{y}^2}{x^3+y^2}=\frac{r^3{\cos }^{}\theta {\sin }^2\theta }{r^3{\cos }^3\theta +r^2{\sin }^2\theta }$ .
  • $L=\cdots =\frac{r{\cos }^{}\theta {\sin }^2\theta }{r{\cos }^3\theta +{\sin }^2\theta }=\frac{1}{\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }+\frac{1}{r\cos \theta }}$ .
  • $L=\cdots =\frac{1}{\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }+\frac{1}{r\cos \theta }}⩽\frac{1}{2\sqrt{\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }\cdot \frac{1}{r\cos \theta }}}$ .
  • $L⩽\frac{1}{2\sqrt{\frac{\cos \theta }{r{\sin }^2\theta }}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{r{\sin }^2\theta }{\cos \theta }}$ . 当取 $=$ 时，$\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{1}{r\cos \theta }$ .
  • $L=\frac{1}{2}\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }$ . 显然 $L$ 并非定值，极限不存在。

3.$L=\frac{x{y}^2\sin ky}{x^2+y^4}$ .

• 当 $x=0$ 且 $y=0$ 时，
  • $L$ 显然为 $0$ .
• 当 $x\ne 0$ 且 $y\ne 0$ 时，
  • $L=\frac{x{y}^2\sin ky}{x^2+y^4}=\frac{kx{y}^3}{x^2+y^4}=\frac{k{r}^4{\cos }^{}\theta {\sin }^4\theta }{r^2{\cos }^2\theta +r^4{\sin }^4\theta }$ .
  • $L=\cdots =\frac{k{r}^2{\cos }^{}\theta {\sin }^4\theta }{{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^4\theta }=\frac{k}{\frac{{\cos }^{}\theta }{r^2{\sin }^4\theta }+\frac{1}{\cos \theta }}$ .
  • $L=\cdots =\frac{k}{\frac{{\cos }^{}\theta }{r^2{\sin }^4\theta }+\frac{1}{\cos \theta }}⩽\frac{k}{2\sqrt{\frac{{\cos }^{}\theta }{r^2{\sin }^4\theta }\cdot \frac{1}{\cos \theta }}}$ .
  • $L⩽\frac{k}{2\sqrt{\frac{1}{r^2{\sin }^4\theta }}}=\frac{k}{2}r{\sin }^2\theta =0$ . 极限存在。

4.$L=\frac{2x^{2}y}{x^4+y^2}$ .

• 当 $x=0$ 且 $y=0$ 时，
  • $L$ 显然为 $0$ .
• 当 $x\ne 0$ 且 $y\ne 0$ 时，
  • $L=\frac{2x^{2}y}{x^4+y^2}=\frac{2r^3{\cos }^2\theta {\sin }^{}\theta }{r^4{\cos }^4\theta +r^2{\sin }^2\theta }$ .
  • $L=\cdots =\frac{2{\cos }^2\theta {\sin }^{}\theta }{r{\cos }^4\theta +\frac{{\sin }^2\theta }{r}}=\frac{2}{\frac{r{\cos }^2\theta }{\sin \theta }+\frac{\sin \theta }{r{\cos }^2\theta }}$ .
  • $L=\cdots =\frac{2}{\frac{r{\cos }^2\theta }{\sin \theta }+\frac{\sin \theta }{r{\cos }^2\theta }}⩽\frac{2}{2\sqrt{\frac{r{\cos }^2\theta }{\sin \theta }\cdot \frac{\sin \theta }{r{\cos }^2\theta }}}$ .
  • $L⩽\frac{1}{2}$ . 当取 $=$ 时，显然 $L$ 并非定值，极限不存在。

(4) 一个优秀的结论

• $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{x^p\cdot y^q}{x^m+y^n}=存在?$ （$m,n$ 为正整数，$p,q$ 为非负实数）
• $m$ 和 $n$ 不全为偶数，极限一定不存在。
• $m$ 和 $n$ 全为偶数时，
  • 若 $\frac{p}{m}+\frac{q}{n}>1$ ，则 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{x^p\cdot y^q}{x^m+y^n}=0$ .
  • 若 $\frac{p}{m}+\frac{q}{n}⩽1$ ，则 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{x^p\cdot y^q}{x^m+y^n}=不存在$ .
  • 此时选择 $\frac{x^p\cdot y^q}{x^m+\bcancel{y^n}}=k$ 的路径证明。

03 原点处偏导数是否存在？

求导链式法则

• 由复合函数求导链式法则，
  • $\frac{\partial f(x,y)}{\partial r}=\frac{\partial f(r\cos \theta ,r\sin \theta )}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}=f_x\cos \theta +f_y\sin \theta$ .
  • 可以简单地写作：$f_r^{\prime }=f_x^{\prime }\cdot \cos \theta +f_y^{\prime }\cdot \sin \theta$ .
• 注意，对 $r$ 求导时，需要将 $r$ 的定义域拓展至 $(-\infty ,+\infty )$ .

对 $x$ 的偏导数

• 如果要求 $f_x^{\prime }(0,0)$ ，因为 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ .
• 由偏导数的定义得，$f_x^{\prime }(0,0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(0,\Delta x)-f(0,0)}{\Delta x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(0,x)-f(0,0)}{x}$ .
• $x\to 0,y=0$，这意味着，在极坐标视角下，$r\to 0,\theta =0$ .
• 又因为，$f_r^{\prime }=f_x^{\prime }\cdot \cos \theta +f_y^{\prime }\cdot \sin \theta$，将 $r\to 0,\theta =0$ 的条件代入：
  • $f_r^{\prime }{|}_{\theta =0}=f_x^{\prime }\cdot \cos \theta {|}_{\theta =0}+f_y^{\prime }\cdot \sin \theta {|}_{\theta =0}=f_x^{\prime }{|}_{\theta =0}$ .
  • 这个结论表明，在原点对 $x$ 的偏导数值等于当 $\theta =0$ 时，在原点对 $r$ 的偏导数值

对 $y$ 的偏导数

• 如果要求 $f_y^{\prime }(0,0)$ ，因为 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ .
• 由偏导数的定义得，$f_y^{\prime }(0,0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}$ .
• $x=0,y\to 0$，这意味着，在极坐标视角下，$r\to 0,\theta =\pi /2$ .
• 又因为，$f_r^{\prime }=f_x^{\prime }\cdot \cos \theta +f_y^{\prime }\cdot \sin \theta$，将 $r\to 0,\theta =0$ 的条件代入：
  • $f_r^{\prime }{|}_{\theta =\pi /2}=f_x^{\prime }\cdot \cos \theta {|}_{\theta =\pi /2}+f_y^{\prime }\cdot \sin \theta {|}_{\theta =\pi /2}=f_x^{\prime }{|}_{\theta =\pi /2}$ .
  • 这个结论表明，在原点对 $y$ 的偏导数值等于当 $\theta =\pi /2$ 时，在原点对 $r$ 的偏导数值

04 原点处偏导数是否连续？

• 求非 $0$ 点关于 $r$ 的导数，然后把这个导数的极限算出来看是否相等