YY的GCD，洛谷P2257，莫比乌斯反演+狄利克雷卷积

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莫比乌斯反演

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本文详细解析了一个数学算法竞赛题目，通过使用狄利克雷卷积和整除分块技巧，有效地解决了质数相关的问题。文章提供了完整的C++代码实现，并介绍了如何预处理质数和计算特定函数。

正题

题目要求这个东西

$\sum_{p\in prime} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=p]$

其实就是求 $\sum_{p\in prime} \sum_{i=1}^{floor(n/p)} \sum_{j=1}^{floor(m/p)} [gcd(i,j)=1]$

根据 $\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]$

换出来变成 $\sum_{p\in prime} \sum_{i=1}^{floor(n/p)} \sum_{j=1}^{floor(m/p)}\sum_{d\mid gcd(i,j)} \mu(d)$

枚举d变成 $\sum_{p\in prime} \sum_{d=1}^{floor(n/p)} \mu(d) \frac{n}{dp}\frac{m}{dp}$

设 T=dp ，那么就变成 $\sum_{T=1}^n\frac{n}{T}\frac{m}{T}\sum_{p\in prime\ dp=T} \mu(d)$

发现做不了。

看一下后面的东西，我们把它设成 G(T)

那么 $G(T)=\sum_{p\in prime \ dp=T}\mu(d)$

很明显发现 $G=prime*\mu$

prime函数指的是第i位是否为质数，是则为1，否则为0.

然后整除分块一下，预处理狄利克雷卷积。

然后n才1e7，按定义枚举 $O(n\ln n+T\sqrt n)$

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

int T;
const int maxn=1e7;
int mu[maxn+10],q[maxn+10],P[maxn+10];
bool vis[maxn+10];
int n,m;

int main(){
	scanf("%d",&T);
	mu[1]=1;vis[1]=true;
	for(int i=2;i<=maxn;i++){
		if(!vis[i]) {P[++P[0]]=i;mu[i]=-1;}
		for(int j=1;j<=P[0] && (long long) i*P[j]<=maxn;j++){
			int temp=i*P[j];
			vis[temp]=true;
			if(i%P[j]==0) break;
			mu[temp]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=P[0];i++)
		for(int j=1;j<=maxn/P[i];j++) q[P[i]*j]+=mu[j];
	for(int i=1;i<=maxn;i++) q[i]+=q[i-1];
	while(T--){
		scanf("%d %d",&n,&m);
		if(m<n) swap(n,m);
		int l=1,r,a,b;
		long long ans=0;
		while(l<=n){
			a=n/(n/l);
			b=m/(m/l);
			r=min(a,b);
			ans+=(long long)(n/l)*(m/l)*(q[r]-q[l-1]);
			l=r+1;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}