学习笔记第三十六节：杜教筛_abclzr 杜教-优快云博客

本文深入探讨了数论函数的求和技巧，包括整除分块递归、记忆化搜索以及通过构造方法处理完全积性函数求和等问题。文章详细讲解了如何优化递归算法的时间复杂度，以及如何通过线性筛预处理提高效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

正题

当我们要求一个这样的东西的时候，我们就会很困惑。

$\sum_{i=1}^n \mu(i)$ 或者 $\sum_{i=1}^n \varphi(i)$ 。

记 $F(n)=\sum_{i=1}^n \mu(i)$ 。

因为我们知道 $\mu*1=e$ ，也就是 $\sum_{d\mid n}\mu(d) =[n=1]$ 。（这条式子的证明看数论函数的介绍）

所以可以得到两条式子。

$\sum_{k=1}^n (\mu*1)(k)=\sum_{i=1}^n1(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n i \rfloor}\mu(j)=\sum_{i=1}^n F(\lfloor \frac n i \rfloor)$

，至于第一个等号，解释是，对于一个i要产生贡献，必定是与那些相乘小于等于n的j，所以产生的总贡献就是这样子的，然后第二个等号就很显然了，直接替换F。

$\sum_{k=1}^n (\mu*1)(k)=\sum_{k=1}^ne(k)=1$

所以 $\sum_{i=1}^n F(floor(n/i))=1;$

令i等于1时，变形可以得到 $F(n)=1-\sum_{i=2}^nF(floor(n/i))$

然后，整除分块递归+记忆化搜索就行。

接着我们来说一说 $\sum_{i=1}^n \varphi(i)$ 怎么求

还是设 $G(n)=\sum_{i=1}^n \varphi(i)$ 。

因为有 $\varphi*1=id$

所以得出两条式子：

$\sum_{k=1}^n (\varphi*1)(k)=\sum_{i=1}^n1(i)\sum_{j=1}^{floor(n/i)}\varphi(j)=\sum_{i=1}^nQ(floor(n/i))$

$\sum_{k=1}^n(\varphi*1)(k)=\sum_{k=1}^n id(i)=\frac{(1+n)*n}{2}$

两式相等，所以 $\sum_{i=1}^nQ(floor(n/i))=\frac{(1+n)*n}{2}$

那么 $Q(n)=\frac{(1+n)*n}{2}-\sum_{i=2}^nQ(floor(n/i))$

也是递归，整除分块即可。

可以通过复杂的证明得到，上述递归算法的时间复杂度是 $O(n^{\frac{3}{4}})$ ，那么就可以处理一个较大的n（约为int）的求和。

优化

其实是可以优化的，就是对于一个bound以下的数直接线性筛预处理，然后如果当前n<=bound，那么直接返回结果。

否则计算答案记录下之后再返回结果，又通过一系列复杂的证明可以知道，当 $bound=n^{\frac{2}{3}}$ 时，有最优时间复杂度 $O(n^{\frac{2}{3}})$ 。

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;

const int bound=5e6;
map<int , long long> summ,sump;//sum of \mu and sum of \varphi
long long sum1[bound+10],sum2[bound+10]; 
int p[bound+10],temp;
bool vis[bound+10];

long long get_sum1(int x){
	if(x<=bound) return sum1[x];
	if(summ[x]) return summ[x];
	int l=2,r;
	long long ans=1;
	while(l<=x){
		r=x/(x/l);
		ans-=(r-l+1)*get_sum1(x/l);
		l=r+1;
	}
	return summ[x]=ans;
}

long long get_sum2(int x){
	if(x<=bound) return sum2[x];
	if(sump[x]) return sump[x];
	int l=2,r;
	long long ans=(long long)(x+1)*x/2;
	while(l<=x){
		r=x/(x/l);
		ans-=(r-l+1)*get_sum2(x/l);
		l=r+1;
	}
	return sump[x]=ans;
}

int main(){
	sum1[1]=sum2[1]=1;
	for(int i=2;i<=bound;i++){
		if(!vis[i]) {p[++p[0]]=i;sum1[i]=-1;sum2[i]=i-1;}
		for(int j=1;j<=p[0] && (temp=i*p[j])<=bound;j++){
			vis[temp]=true;
			if(i%p[j]==0) {sum2[temp]=sum2[i]*p[j];break;}
			sum1[temp]=-sum1[i];
			sum2[temp]=sum2[i]*(p[j]-1);
		}
		sum1[i]+=sum1[i-1];
		sum2[i]+=sum2[i-1];
	}
	static int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld %lld\n",get_sum2(n),get_sum1(n));
	}
}