四元数与旋转变换

1. 问题来源
   问题还是来源于课本内容，在图形学课本中讲到三维变换矩阵的时候引入了四元数，但是同样没有说明四元素是如何旋转三维空间里向量的原因。通过查找维基百科，这个问题完全可以理解。
   首先简单介绍四元数的表示形式：
   

   $$q = s + x\mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k \ \ \ s,x,y,z \in \mathbb{R}$$
   其中i,j,k定义它们的计算规则是$\mathbf i^{2} = \mathbf j^{2} = \mathbf k^{2} = \mathbf i\mathbf j\mathbf k = -1$ 以及: $$\mathbf i \mathbf j = \mathbf k \ \ \ \mathbf j \mathbf k = \mathbf i \ \ \ \mathbf k \mathbf i = \mathbf j$$ $$\mathbf j \mathbf i = -\mathbf k \ \ \ \mathbf k \mathbf j = -\mathbf i \ \ \ \mathbf i \mathbf k = -\mathbf j$$ s是实部，$\mathbf i$,$\mathbf j$,$\mathbf k$是虚数的单位，进行乘运算时又有类似向量叉积的特点，不可以交换计算顺序，关于四元数介绍和运算可以看这里。把这三个分量看成是三位空间向量的坐标，则两个纯四元数(实部s=0)$\overrightarrow u$与$\overrightarrow v$之间的乘积可以用向量的运算来表示： u→v→=u→×v→−u→⋅