本文介绍了欧拉解法解决一元四次方程的过程，通过消元和代换将四次方程转化为三次多项式，利用韦达定理和三元一次方程组，证明了对每个u，四次方程的解相同，并详细展示了证明步骤。
高等代数的教科书里面讲到使用Ferrari(费拉里)解法求解四次方程时，从三次方程求得u的三个根，如果依次代入分解后的两个二次方程的系数，最后求的四次方程的解，如果对每一个u四次方程都有4个解，那么是不是最后有 3 ∗ 4 = 12 3*4=12 3∗4=12个解呢？很多教材只是简单的讲到对每一个u四次方程的解都是一样(当然根据代数基本定理可知仅有4个根)。就这么简单一句要秒杀多少脑细胞。直接证明有点难，反正作者本人是没能直接证明出来。现在介绍欧拉的方法解四次方程，从另一个角度能看到为什么对于每一个u求解出来的四次方程的根相同。每一个一元四次方程变量代换x=y-b/4都可以消去三次项变成为下式
(1) x 4 + p x 2 + q x + r = ( x 2 + s x + t ) ( x 2 + u x + v ) x^4 + px^2 + qx + r=(x^2+sx+t)(x^2+ux+v)\tag{1} x4+px2+qx+r=(x2+sx+t)(x2+ux+v)(1)
根据(1)式求待定的系数得到下面的方程组
(2) s = − u p = t − u 2 + v q = u ( v − t ) r = t v \begin{aligned} s&=-u\\ p&=t-u^2+v\\ q&=u(v-t)\\ r&=tv \tag{2} \end{aligned} spqr=−u=t−u2+v=u(v−t)=tv(2)
整理方程组，将u,t,v看作是变量则根据三元一次方程组可以求得下面的关系
(3) s = − u t = ( p + u 2 − q u ) 2 v = ( p + u 2 + q u ) 2 \begin{aligned} s&=-u\\ t&=\frac{(p+u^2-\frac{q}{u})}{2}\\ v&=\frac{(p+u^2+\frac{q}{u})}{2}\tag{3} \end{aligned} stv=−u=2(p+u2−uq)=2(p+u2+uq)(3)
且由于 u 2 ( p + u 2 ) 2 − q 2 = 4 u 2 r u^2(p+u^2)^2-q^2=4u^2r u2(p+u2)2−q2=4u2r若设 U = u 2 U=u^2 U=u2则U满足下面的三次多项式
(4) U 3 + 2 p U 2 + ( p 2 − 4 r ) U − q 2 = 0 U^3+2pU^2+(p^2-4r)U-q^2=0\tag{4} U3+2pU2+(p2−4r)U−q2=0(4)
回过头来看等式(1)如果设 r 1 r_1 r1与 r 2 r_2 r2是方程 x 2 + s x + t = 0 x^2+sx+t=0 x2+sx+t=0的根， r 3 r_3 r3和 r 4 r_4 r4是方程 x 2 + u x + v = 0 x^2+ux+v=0 x2+ux+v=0的两个根。显然有下面的等式成立
(5) r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = 0 r_1+r_2+r_3+r_4=0\tag{5} r1+r2+r3+r4=0(5)
且因为 − ( r 1 + r 2 ) ( r 3 + r 4 ) = u 2 -(r_1+r_2)(r_3+r_4)=u^2 −(r1+r2)(r3+r4)=u2所以 − ( r 1 + r 2 ) ( r 3 + r 4 ) -(r_1+r_2)(r_3+r_4) −(r1+r2)(r3+r4)也一定是方程(4)的解。那方程(4)的另外两个根会是什么呢？普通人思考到这里时也许就戛然而止了，但是欧拉却继续发现两外两个根是 − ( r 1 + r 3 ) ( r 2 + r 4 ) -(r_1+r_3)(r_2+r_4) −(r1+r3)(r2+r4)与 − ( r 1 + r 4 ) ( r 2 + r 3 ) -(r_1+r_4)(r_2+r_3) −(r1+r4)(r2+r3)若令
(*) − ( r 1 + r 2 ) ( r 3 + r 4 ) = ( r 1 + r 2 ) 2 = α − ( r 1 + r 3 ) ( r 2 + r 4 ) = ( r 1 + r 3 ) 2 = β − ( r 1 + r 4 ) ( r 2 + r 3 ) = ( r 1 + r 4 ) 2 = γ 根据韦达定理 r 1 + r 2 = − u , r 3 + r 4 = u \begin{aligned} -(r_1+r_2)(r_3+r_4) &=(r_1+r_2)^2=\alpha\\ -(r_1+r_3)(r_2+r_4) &=(r_1+r_3)^2= \beta\\ -(r_1+r_4)(r_2+r_3) &= (r_1+r_4)^2=\gamma\tag{*}\text{根据韦达定理$r_1+r_2=-u,r_3+r_4=u$} \end{aligned} −(r1+r2)(r3+r4)−(r1+r3)(r2+r4)−(r1+r4)(r2+r3)=(r1+r2)2=α=(r1+r3)2=β=(r1+r4)2=γ根据韦达定理r1+r2=−u,r3+r4=u(*)
要证明它们是方程(4)的三个根那么等同于必须满足韦达定理的条件，即满足
(6) [ − ( r 1 + r 2 ) ( r 3 + r 4 ) ] + [ − ( r 1 + r 3 ) ( r 2 + r 4 ) ] + [ − ( r 1 + r 4 ) ( r 2 + r 3 ) ] = α + β + γ = − 2 p [-(r_1+r_2)(r_3+r_4)]+[-(r_1+r_3)(r_2+r_4)] +[-(r_1+r_4)(r_2+r_3)]=\alpha+ \beta+\gamma=-2p\tag{6} [−(r1+r2)(r3+r4)]+[−(r1+r3)(r2+r4)]+[−(r1+r4)(r2+r3)]=α+β+γ=−2p(6)
(7) [ − ( r 1 + r 2 ) ( r 3 + r 4 ) ] [ − ( r 1 + r 3 ) ( r 2 + r 4 ) ] + [ − ( r 1 + r 2 ) ( r 3 + r 4 ) ] [ − ( r 1 + r 4 ) ( r 2 + r 3 ) ] + [ − ( r 1 + r 3 ) ( r 2 + r 4 ) ] [ − ( r 1 + r 4 ) ( r 2 + r 3 ) ] = α β + α γ + β γ = p 2 − 4 r [-(r_1+r_2)(r_3+r_4)][-(r_1+r_3)(r_2+r_4)]+[-(r_1+r_2)(r_3+r_4)][-(r_1+r_4)(r_2+r_3)]\\ +[-(r_1+r_3)(r_2+r_4) ][-(r_1+r_4)(r_2+r_3)]=\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=p^2-4r\tag{7} [−(r1+r2)(r3+r4)][−(r1+r3)(r2+r4)]+[−(r1+r2)(r3+r4)][−(r1+r4)(r2+r3)]+[−(r1+r3)(r2+<
一元四次方程欧拉解法的证明
最新推荐文章于 2025-03-22 08:46:26 发布
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