扩展KMP

扩展KMP

---

为了叙述方便，设$S_{(i)}$为串$S$从$i$开始的后缀
扩展KMP可以在线性时间内求出对于一个文本串$S$的每一个后缀$S_{(i)}$与模板串$T$的最长公共前缀(LCP)，我们设其为$ex_i$。
假设我们已经知道了$T_{(i)}$与$T$的LCP，设为$next_i$，考虑怎么求$ex_i$。
假设当前$ex_1 \sim ex_{i-1}$，都已求出，设其中最大的$ex_k$为$ed$，对应的$k$为$st$，那么分两种情况讨论：
1. $next_{i-st+1}<ed-st+1$；设$w=next_{i-st+1}$，首先因为$S_{st..ed}=T_{1..ed-st+1}$，那么$S_{(i)}=T_{(i-st+1)}$的LCP为$w$，又因为$T_{1..w}=T_{i-st+1..i-st+w+1}$，得到$ex_{i}=w$。
2. $next_{i-st+1}\ge ed-st+1$；同理，$ex_{i}$至少为$ed-i+1$，但还可能更多，暴力拓展$ed$即可。

其实$next_i$的求法也是类似的。
考虑每拓展一次$ed$至少$+1$，所以时间复杂度是$O(n)$的。
实现中有个细节就是$ed$要和$i-1$取一个$\max$。
代码：

void ex_kmp(char s[],char t[],int nxt[],int ex[])
{
    int st=1,ed=0;
    nxt[1]=n;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(nxt[i-st+1]<ed-i+1) {nxt[i]=nxt[i-st+1];continue;}
        ed=max(i-1,ed);
        for(int j=ed-i+1;ed<n&&t[ed+1]==t[j+1];ed++,j++);
        st=i;nxt[i]=ed-i+1;
    }
    st=1;ed=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(nxt[i-st+1]<ed-i+1) {ex[i]=nxt[i-st+1];continue;}
        ed=max(i-1,ed);
        for(int j=ed-i+1;ed<n&&s[ed+1]==t[j+1];ed++,j++);
        st=i;ex[i]=ed-i+1;
    }
}