[CF932]E - Team Work 第二类stirling数

最新推荐文章于 2020-10-05 20:38:47 发布

DOFYPXY

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分类专栏：组合数学 Stirling数

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Stirling数

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本文介绍了一种使用下降幂来替换k次幂的方法，通过组合数学中的斯特林数来推导出幂次求和的公式，并给出了具体的数学推导过程及O(k^2)复杂度的求解算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

还是那个用下降幂替换 $k$ 次幂的套路。推式子：

\sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) i^{k} = \sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) \sum_{j = 0}^{k} {\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}} i^{\underline{j}}

$\sum_{i=1}^n{n\choose i}i^k=\sum_{i=1}^n{n\choose i}\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix} n\\j \end{Bmatrix}i^{\underline j}$
展开组合数：

\sum i = 1 n n ! i ! ( n - i ) ! \sum j = 0 k {n j} i ! ( i - j ) ! = \sum i = 1 n \sum j = 0 k {n j} n ! ( n - j ) ! (n - j n - i)

$\sum_{i=1}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix} n\\j \end{Bmatrix}\frac{i!}{(i-j)!}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix} n\\j \end{Bmatrix}\frac{n!}{(n-j)!}{n-j\choose n-i}$
换个位置然后利用下组合数的性质：

=∑j=0k{nj}n!(n−j)!∑i=1n(n−jn−i)=∑j=0k{nj}nj–2n−j=∑j=0k{nj}n!(n−j)!∑i=1n(n−jn−i)=∑j=0k{nj}nj_2n−j

$=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix} n\\j \end{Bmatrix}\frac{n!}{(n-j)!}\sum_{i=1}^n{n-j\choose n-i}=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix} n\\j \end{Bmatrix}n^{\underline j}2^{n-j}$
直接

O(k2)O(k2) $O(k^2)$ 求即可。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long 
using namespace std;
const int mod=1000000007;
ll n,K,S[2][5010];
ll ksm(ll a,ll b){ll r=1;for(;b;b>>=1){if(b&1)r=r*a%mod;a=a*a%mod;}return r;}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&K);
    S[1][1]=1;
    for(int i=2,v=0;i<=K;i++,v^=1)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            S[v][j]=(S[v^1][j]*j+S[v^1][j-1])%mod;
    ll ans=0,mi=1;
    for(int i=1;i<=min(K,n);i++)
    {
        mi=mi*(n-i+1)%mod;
        ans=(ans+S[K&1][i]*mi%mod*ksm(2,n-i))%mod;      
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}