[HDU4624]Endless Spin 最值反演+DP

最新推荐文章于 2019-09-05 15:31:29 发布

DOFYPXY

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分类专栏： dp 容斥原理

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容斥原理

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本文介绍了最值反演（min-max容斥）算法的基本原理，并详细解释了如何利用该算法求解特定概率问题，包括如何转换问题为求最小值期望，以及如何使用动态规划进行高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先最值反演（也有人叫min-max容斥）就是：

max {S} = \sum T \subseteq S (- 1) | T | + 1 min {T}

$\max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\}$
假设位置

i $i$ 被染黑的时间是

Xi $X_i$ ，那么要求的就是

E[max{Xi}] $E[\max\{X_i\}]$ ，于是转化为对于所有点集

S $S$ ，求

E[mini∈S{Xi}] $E[\min_{i\in S}\{X_i\}]$ 。
这个就好求多了，就是第一次染到该集合的某个点的期望，就是

n(n−1)2∗numS $\frac{n(n-1)}{2*num_S}$ ，

numS $num_S$ 表示覆盖至少

S $S$ 中一个点的区间个数，可以用所有区间减去未覆盖的区间数得到，未覆盖的区间数就可以通过相邻两点距离得到。
然后就可以DP，设

fi,j,0/1 $f_{i,j,0/1}$ 表示考虑前

i $i$ 个球，有

j $j$ 个区间是未覆盖的，被选的球的奇偶性，转移即可。
还要写高精度小数，我没写。。。我只过了样例。。。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define G(x) (((x+1)*(x))>>1)
#define ll long long
using namespace std;
int n;
ll f[55][2555][2];
int main()
{
    int ca;
    scanf("%d",&ca);
    while(ca--)
    {
        scanf("%d",&n);
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[0][0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<i;j++)
                for(int s=G(i-j-1);s<=G(i);s++)
                    for(int b=0;b<=1;b++)
                        f[i][s][b]+=f[j][s-G(i-j-1)][b^1];                
        double ans=0,tot=G(n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int s=0;s<=G(i);s++)
                if(f[i][s][1]-f[i][s][0]!=0)
                ans+=tot*(f[i][s][1]-f[i][s][0])/(tot-s-G(n-i));
        printf("%.15lf\n",ans);                        
    }
    return 0;
}