Leetcode:322. 零钱兑换(C++)

该文介绍了一个使用动态规划方法解决的编程问题,即给定不同面额的硬币和一个总金额,计算凑出总金额所需的最少硬币数量。当无法凑出总金额时返回-1。文章通过示例解释了算法的实现,包括代码和思路解析,特别强调了dp数组的初始化和更新策略。

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问题描述:

实现代码与解析:

动态规划(完全背包):

原理思路:


问题描述:

        给你一个整数数组 coins ,表示不同面额的硬币;以及一个整数 amount ,表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1:

输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出:3
解释:11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

输入:coins = [2], amount = 3
输出:-1

示例 3:

输入:coins = [1], amount = 0
输出:0

实现代码与解析:

动态规划(完全背包):

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) 
    {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i < coins.size(); i++)
        {
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++)
            {
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX)
                {
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
                
            }
        }
        if(dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

原理思路:

        此题和Leetcode:474. 一和零(C++)_Cosmoshhhyyy的博客-优快云博客很像,但是区别呢,就是此题求的是最小物品数,dp数组的含义就是装满背包用的最少硬币个数,对于dp数组的初始化,就是非零下标都取最大INT_MAX,因为我们后面要 dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1) 进行比较,如果都取 0 ,那么取 min 的时候就都取 0 了,显然是不对的,初始化为最大才能取到小值,当然  0 下标还是为 0 的,之后就是完全背包遍历了,最后如果dp数组还为初值,说明不能装满,则返回 -1。

### 力扣(LeetCode零钱兑换问题的C++解决方案 以下是基于动态规划方法解决 **LeetCode 322. Coin Change** 的 C++ 实现方案。此算法通过构建一个数组 `dp` 来存储子问题的结果,其中 `dp[i]` 表示凑成金额 `i` 所需最少硬币数。 #### 解决思路 该问题可以通过动态规划求解。定义状态转移方程为: \[ \text{dp}[i] = \min(\text{dp}[i], \text{dp}[i-\text{coin}] + 1) \quad \forall \text{coin} \leq i \] 初始条件设置为: \[\text{dp}[0] = 0\] (表示凑成金额 0 不需要任何硬币) 对于其他位置 \(i\) 初始化为无穷大 (\(INF\)) 或者超出范围的一个极大值,以便后续更新最小值。 最终返回结果时,如果 `\text{dp}[\text{amount}]` 始终未被有效更新,则说明无法凑齐目标金额,应返回 `-1`。 下面是完整的 C++ 实现: ```cpp #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; class Solution { public: int coinChange(vector<int>& coins, int amount) { // 创建 dp 数组并初始化为 INF vector<long> dp(amount + 1, INT_MAX); dp[0] = 0; // 初始条件 // 外层循环遍历每种面额的硬币 for (const auto& coin : coins) { // 内层循环从当前硬币面额到总金额逐步计算最优解 for (int x = coin; x <= amount; ++x) { dp[x] = min(dp[x], dp[x - coin] + 1); // 更新状态转移方程 } } // 如果 dp[amount] 超过最大整数值则无解 return (dp[amount] == INT_MAX ? -1 : static_cast<int>(dp[amount])); } }; ``` 上述代码实现了动态规划的核心逻辑,并利用两重嵌套循环完成对所有可能组合的评估。外层循环负责逐一处理不同类型的硬币;内层循环用于迭代更新每一个金额下的最佳选择情况。 #### 时间复杂度与空间复杂度分析 时间复杂度主要取决于两个因素——硬币种类数目以及所需总额度大小。具体来说, - 设有 $n$ 种不同的硬币; - 总共要达到的目标金额记作 $\text{amount}$, 那么整体的时间复杂度大约为 O(n × amount)[^3] 。至于额外使用的内存资源方面,由于只需要维护长度等于 $(\text{amount}+1)$ 的一维数组即可满足需求,因此其空间复杂度同样也是线性的即 O(amount). ---
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