[BZOJ3036]绿豆蛙的归宿 ——期望DP

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概率与期望

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本文介绍了一种计算有向无环图中从指定起点到终点期望步数的方法。通过DFS序和动态规划逆序求解，实现对每条路径概率的精确计算。

题意

给定一张有向无环图，起点为1，终点为 $N$ ，每个点 $i$ 有 $k_i$ 条出边，从每个点走其中一条出边的概率是 $\dfrac{1}{k_i}$ ，求从1到 $N$ 的期望步数。

$i$ 到终点的期望步数为 $f(i)=\sum\dfrac{f(j)+w(i,j)}{k_i}$
可以先求出dfs序，倒过来DP

#include <cstdio>
#define N 100010

int n,G[N],cnt,m,D[N],T[N],V[N],dfsx[N];
double f[N];
struct edge{
    int t,nx,w;
}E[N<<1];

inline void reaD(int &x){
    char Ch=getchar();x=0;
    for(;Ch>'9'||Ch<'0';Ch=getchar());
    for(;Ch>='0'&&Ch<='9';x=x*10+Ch-'0',Ch=getchar());
}

inline void InserT(int u,int v,int w){
    E[++cnt].t=v;D[u]++;E[cnt].nx=G[u];E[cnt].w=w;G[u]=cnt;T[v]++;
}

void dfs(int x){
    V[x]=1;dfsx[++cnt]=x;
    for(int i=G[x];i;i=E[i].nx)
        if(!(--T[E[i].t]))dfs(E[i].t);
}

int main(){
    reaD(n);reaD(m);
    for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)reaD(u),reaD(v),reaD(w),InserT(u,v,w);
    cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!V[i]&&!T[i]) dfs(i);
    for(int i=n-1;i;i--)
        for(int j=G[i];j;j=E[j].nx)
        f[i]+=(f[E[j].t]+E[j].w)*1.0/D[i];
    return printf("%.2lf",f[1]),0;
}