【Note】The Power of Grids

Reference: Geometric Approximation Algorithms, Sariel Har-Peled.

回来写点看书的note，主要是简单整理一下看过的内容。看的第一本书是导师推荐的 Geometric Approximation Algorithms，里面介绍了一些几何问题的经典的techniques.

网格化（Grid）利用网格坐标点离散的性质，可以设计一些运行时间为 $\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{y}(m)$（$m$ 为网格尺寸，一般不大于输入规模，如点数）的算法（多用于随机算法、近似算法）。主要讨论了两个例子：最近点对，以及最小闭包球。

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一些记号

首先给出一些会用到的记号。

固定 $r\in {\mathbb{R}}_{+}$，对于一个点 $p=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$，定义 $G_r(p)=(\lfloor x/r\rfloor r,\lfloor y/r\rfloor r)$。即 $G_r$ 是一个网格，每个格子的宽度为 $r$，$G_r(p)$ 将点 $p$ 映射到一个交叉点处，从而变成离散的数据。定义一个网格群(grid cluster) 为连续的 $3\times 3$ 的区域。对于每个格子 $\mathcal{C}$，它有一个唯一的编号 $i{d}_{\mathcal{C}}=id(p)=(\lfloor x/r\rfloor r,\lfloor y/r\rfloor r)$，其中 $p=(x,y)$是 $\mathcal{C}$ 中的任意一点。对于一个点集 $P$，定义 Gr(P)={Gr(p):p∈P}G_r(P)=\{G_r(p):p\in P\}Gr​(P)={Gr​(p):p∈P}，即将所有 $P$ 中的点映射网格上得到的离散点集。

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最近点对

求 $CP(P)={\min }_{p,q\in P}\Vert p-q\Vert$。即，给出点集 P={(xi,yi)}i=1n⊆R2P=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^n\subseteq \mathbb R^2P={(xi​,yi​)}i=1n​⊆R2，求距离（以 ${\mathcal{L}}_2$ 距离为例）最近的两个点。

首先我们有

引理1.2.2: 给定一个 $n$ 个点的点集 $P$，以及 $r>0$, 可以在线性时间内判断 $CP(P)<r$ 是否成立。

proof: 首先 $G_r(P)$ 可以在线性时间内计算得到，并且至多 $n$ 个格子内有点。只需证明：如果一个格子内有超过 $9$ 个点，则这个格子中必然存在一对点，它们的距离小于 $r$。考虑一个格子包含超过 $9$ 个点，把这个格子均匀分成 $3\times 3$ 个小格子，则必有一个小格子中有至少两个点，由于这个小格子的对角线长度为 $\sqrt{r^2+r^2}/3<r$，因此必然存在一对点距离小于 $r$。 $■$

根据 引理1.2.2，可以得出一个暴力做法，首先按照某种顺序排列 $P$ 中的点。假如我们已经计算出前 $i$ 个点的最近点距离，设为 $r_i$，以及 $G_{r_i}(P_{1,i})$（$P_{1,i}$ 为 $P$ 的前 $i$ 个点）。则此时 $G_{r_i}$ 中每个格子中的点的数量不超过 $9$ 个，因此把第 $i+1$ 个点 $p_{i+1}$ 加入网格，并且计算其与以 $G_{r_i}(p_{i+1})$ 为中心的 $3\times 3$ 个格子中的点的距离，若最小的距离不小于 $r_i$，则 $r_{i+1}=r_i$，否则 $r_{i+1}$ 为这个最小距离。如果发现 $r_i\ne r_{i+1}$，则暴力重构 $G_{r_{i+1}}(P_{1,i+1})$.

每次暴力重构需要 $O(n)$ 时间，假设重构了 $k$ 次，则总时间复杂度为 $O(nk)$. 实际上，如果我们在开头对 $P$ 进行随机排列，则可以得到一个更好的结果

定理 1.2.3: 给定一个 $n$ 个点的点集 $P$，可以在 期望O(n) 的时间内计算最近点对距离。

proof: 只需要对 $P$ 进行随机排列，再运行 引理1.2.2 的算法即可。下分析时间复杂度：只需要分析构造网格需要的时间总和（设为 $T(n)$）即可。令 $X_i$ 为一个 $0/1$ 随机变量，若 $r_i\ne r_{i-1}$ 则 $X_i=1$，否则 $X_i=0$. 则
$$E[T(n)]=E\left[1+\sum _{i=2}^{n}i{X}_i\right]=1+\sum _{i=2}^{n}iE[X_i]=1+\sum _{i=2}^{n}i\mathrm{Pr}[X_i=1]$$
考虑计算 $\mathrm{Pr}[X_i=1]=\mathrm{Pr}[r_i<r_{i-1}]$，考虑排列中的前 $i$ 个点，当 $r_i<r_{i-1}$ 发生时，则 ri−1=CP(Pi∖{pi})>CP(Pi)=rir_{i-1}=CP(P_i\setminus\{p_i\})>CP(P_i)=r_{i}ri−1​=CP(Pi​∖{pi​})>CP(Pi​)=ri​，我们称满足 CP(Pi∖{p})>CP(Pi)CP(P_i\setminus\{p\})>CP(P_i)CP(Pi​∖{p})>CP(Pi​) 的点 $p$ 为关键点，则 $p_i$ 是关键点，且显然有至多两个点是关键点。因此 $\mathrm{Pr}[X_i=1]=\mathrm{Pr}[p_i$ 是关键点 $]\le 2/i$，从而 $E[T(n)]=O(n)$. $■$

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$k$-最小闭包圆（$k$-Enclosing Minimum Disk）的 2-近似算法

首先给出问题定义。

对于一个圆 $D$，其半径记为 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}(D)$. 定义 $D_{opt}(P,k)$ 为包含 $P$ 中 $k$ 个点的半径最小的圆，记 $r_{opt}(P,k)$ 为其半径。则要求出 $r_{opt}(P,k)$。

利用网格，我们可以得到以下结果

引理1.3.1:给定 $n$ 个点的点集 $P$，可以在 $O(n(n/k{)}^2)$ 的时间内得到一个圆 $D$，使得 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}(D)\le 2r_{opt}(P,k)$.

proof: 在平面上求出 $m=O(n/k)$ 条水平直线，使得两两直线之间至多有 $k/4$ 个点。这可以利用分治在 $O(n\log (n/k))$ 时间内计算出来。同样也可以求出 $m$ 条竖直直线满足这样的要求。从而通过这些直线，我们得到了一个格子尺寸不一致（non-uniform）的网格 $G$. 记 $X$ 为 $G$ 的所有交叉点。则有$D_{opt}(P,k)$ 必然包含 $X$ 中的一个点。这个结论反证一下就可以得到。因此只要枚举 $X$ 中的每一个点，计算以它为圆点的 $k$-最小闭包圆 即可，这一步可以通过计算出所有点到这个点的距离后利用 kth-element 在 $O(n)$ 时间内得到。因此总的时间复杂度为 $O(n(n/k{)}^2)$。下证这是一个2-近似解。设 $D_{opt}(P,k)$ 的圆心为 $p$，它包含点 $x\in X$. 则以 $x$ 为圆心，$2r_{opt}(P,k)$ 为半径的点必然包含圆 $D_{opt}(P,k)$，因此至少包含 $k$ 个点，从而利用以上算法的出的 $D$ 的半径必然小于 $2r_{opt}$. $■$

显然，如果 $k=\Omega (n)$，则我们有了一个线性时间的2-近似算法。这一章的最后还给出了一个期望线性时间的2-近似算法，由于证明部分过于技巧性，暂时略过。