[BZOJ2186][Sdoi2008]沙拉公主的困惑

最新推荐文章于 2019-08-08 10:12:41 发布

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#逆元 #数论

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本文介绍了一种计算n!中与m!互素数个数的方法，并提供了具体的C++实现代码。通过预处理阶乘和逆元，利用欧拉函数特性，实现了线性筛选，最终求得模意义下的互素计数。

题意

求 $n!$ 中与 $m!$ 互素的数的个数。

这是我刚学逆元打的第一道题，当然是看别人的题解后打的……

A n s = ϕ (m!) * n! / m! % p

$Ans=\phi(m!)*n!/m!\% p$

∵ ϕ (m!) = m! \prod (p i - 1) / p i % p

$\because\phi(m!)=m!\prod{(pi-1)/pi}\% p$

∴ A n s = n! \prod (p i - 1) / p i % p

$\therefore Ans=n!\prod{(pi-1)/pi}\% p$

预处理 $n!\% p$ 和 $\prod{(pi-1)/pi}\% p$

因为要用到除法取模，所以要求逆元。

- M / i * i n v [M % i] = i n v [i]

$-M/i*inv[M\%i]=inv[i]$

可以线性筛预处理。

#include <cstdio>
#define N 10000010

typedef long long ll;

int T,a,b,m,p[664580];
bool isp[N];
ll f[N],ans[N],inv[N];

inline void first(int x){
    f[1]=1;for(ll i=2;i<=x;i++) f[i]=f[i-1]*i%m;
    for(ll i=2;i<=x;i++){
        if(!isp[i]) p[++p[0]]=i;
        for(int j=1;i*p[j]<=x;j++)if(isp[i*p[j]]=1,i%p[j]==0) break;
    }
    inv[1]=ans[1]=1;
    for(ll i=2;i<=x&&i<m;i++)inv[i]=(m-m/i)*inv[m%i]%m;
    for(ll i=2;i<=x;i++){
        ans[i]=ans[i-1];
        if(!isp[i]) ans[i]=1ll*ans[i]*(i-1)%m*inv[i%m]%m;
    }
}

inline void reaD(int &x){
    char Ch=getchar();x=0;
    for(;Ch>'9'||Ch<'0';Ch=getchar());
    for(;Ch>='0'&&Ch<='9';x=x*10+Ch-'0',Ch=getchar());
}

int w[30],wt;

inline void Pt(ll x){
    if(!x){putchar('0');putchar('\n');return;}
    while(x)w[++wt]=x%10,x/=10;
    for(;wt;wt--)putchar(w[wt]+'0');putchar('\n');
}

int main(){
    reaD(T);reaD(m);
    first(N-10);
    while(T--){
        reaD(a);reaD(b);
        Pt(f[a]*ans[b]%m);
    }
    return 0;
}