[SDOI2008]沙拉公主的困惑

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本文提供了一种解决洛谷P2155问题的有效方法，通过预处理阶乘和逆元，利用线性筛法求出1e7以内的素数，并给出φ(m!)的递推式，最终实现快速计算小于等于n!且与m!互质的数的个数。

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【题目链接】
洛谷 P2155

【解析】
首先筛法求出 1e7 以内的素数。
小于等于 m! 且与 m! 互质的数的个数就是 φ(m!)。
而对于任意与 m! 互质的 x，k * m! + x 与 m! 仍然互质，所以小于等于 n! 且与 m! 互质的数的个数为 φ(m!) * n! / m! 。
阶乘和逆元可以预处理，接下来考虑 φ(m!) 。
令 f(x) = φ(x!)，利用 phi[n] = n * Π (1 - 1 / p)，可以得出 f(x) 的递推式。
当 x 为质数时，f(x) = f(x - 1) * (x - 1)。
当 x 为合数时，f(x) = f(x - 1) * x。
先打表预处理，然后处理每个询问。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

const int N = 1e7 + 10;
const int M = 1e7;

int T, R, n, m;
LL fac[N], f[N];
int v[N], p[N], pr; // 线性筛，v[i] 为 i 的最小质因数

LL qpow(LL a, int n) {
    LL ans = 1;
    while(n) {
        if(n & 1) ans = ans * a % R;
        a = a * a % R;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

void init() {
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= M; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % R;
    for(int i = 2; i <= M; i++) {
        if(!v[i]) {
            v[i] = i;
            p[++pr] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= pr; j++) {
            int k = i * p[j];
            if(p[j] > v[i] || k > M) break;
            v[k] = p[j];
        }
    }
    f[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= M; i++)
        f[i] = f[i - 1] * (v[i] == i ? i - 1 : i) % R;
}

int main() {
    cin >> T >> R;
    init();
    for(int i = 1; i <= T; i++) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        LL ans = fac[n] * f[m] % R;
        ans = ans * qpow(fac[m], R - 2) % R;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}