[BZOJ1965][Ahoi2005]SHUFFLE 洗牌

LowestJN

于 2016-12-15 18:35:14 发布

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分类专栏：数论拓展欧几里得文章标签：拓展欧几里得数论

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拓展欧几里得

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本文探讨了一种特殊的洗牌问题，即经过多次特定规则的洗牌后，确定某张牌的初始位置。通过建立数学模型，利用模幂运算和拓展欧几里得算法求解逆元的方法，最终解决了这一问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

一堆n张牌的牌堆，每次洗牌后编号为 $x$ 的牌会在第 $2x\%(n+1)$ 的位置，求 $m$ 次洗牌后第 $L$ 张牌的初始编号。

可列出方程
$~~~~x*2^m\equiv L(mod~n+1)$
$\therefore~x*2^m+(n+1)y=L$

可以用拓展欧几里得解。

#include <cstdio>
#define ll long long

ll n,m,l;

ll Pw(ll x,ll y,ll p){
    ll R=1;
    while(y){
        if(y&1) R=R*x%p;
        x=x*x%p;
        y>>=1;
    }
    return R;
}

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    ll k=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
    x=y;y=t-a/b*y;return k;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&l);
    ll a=Pw(2,m,n+1),b=n+1,x,y,g;
    g=exgcd(a,b,x,y);
    if(((x*=l/g)%=n+1)<=0) x+=n+1;
    return printf("%lld",x);
}