【No.7】蓝桥杯枚举法与尺取法|第几个幸运数字|42点问题|二进制手写子集代码|排列序数|火星人|回文判定|找指定和的整数对|美丽的区间(C++)

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已于 2024-03-19 19:04:14 修改 · 1.3k 阅读

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#蓝桥杯 #c++ #算法

于 2024-03-13 16:09:33 首次发布

暴力法的最后一块拼图
枚举题
题目需要处理大量同类情况
暴力枚举所有情况
利用计算机强大的算力
注意：不要遗漏任何情况
注意：如果枚举量太大，需要剪枝

枚举法
- 简单型枚举
- 组合型枚举
- 排列型枚举
- 指数型枚举
尺取算法

枚举法

枚举算法的思想：
将问题的所有可能成为答案的解一一列举，然后根据问题给定的条件判断这些解是否合适。如果合适就保留；反之则舍弃。
枚举算法解题的基本思路：

确定枚举解的范围和判断条件
选择适当的枚举方式进行逐一枚举，确保覆盖所有可能的解。避免遗漏任何真正的解，注意防止重复。
在枚举过程中，应用事先确定的判断条件验证每个解的合法性，保留符合要求的解。
枚举算法的一般步骤：
根据题目确定枚举的范围，并选择合适的枚举方式。确保不遗漏任何真正的解，同时避免重复。
优化解空间：查看是否存在优化的可能性，以缩小可能成为解的答案范围，提高解决问题的效率。
定义准确验证条件：根据问题找到准确、易编码的验证条件，用于检验每个可能的解。
枚举和判断：逐一枚举解并验证是否符合事先确定的条件，保留符合条件的解。
按照要求输出枚举过程中留下的符合条件的解。

第几个幸运数字

题目描述

一个整数如果只含有因子3、5、7，称为幸运数字
前十个幸运数字是3、5、7、9、15、21、25、27、35、45
问59084709587505是第几个幸运数字

题目解析

枚举思路

暴力枚举，这个系列的数可以表示为 $3^i*5^j*7^k$
从小到大开始枚举
当i，j，k=0
000、100、010、001
然后从有两个是1的开始枚举，一层一层加上去
枚举所有不超过范围的i、j、k组合
通过计算得代码中最小的 $3^{50}$ 肯定超过59084709587505
long long a = pow(3,50);
所以 $i + j + k < 50$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
	long long n = 59084709587505;
	int cnt = 0;
	for (int i = 0; pow(7, i) < n; i++)
		for (int j = 0; pow(5, j) < n; j++)
			for (int k = 0; pow(3, k) < n; k++)
				if (pow(7, i)*pow(5, j)*pow(3, k) <= n)
					cnt++
	count << cnt - 1;
	//1906 - 1 = 1905，幸运数字不包括1
	return 0;
}

简单型枚举

简单型枚举是通过简单的 for 循环嵌套解决的问题类型。在之前的课程中，我们所讨论的题目通常属于简单型枚举的范畴。因此，简单型枚举是一种相对简单且大家接触最多的枚举方式。
这种枚举方式没有特定的固定枚举模式，而且相对简单。只需按照题目的要求设计代码即可完成解题。
让我们通过一个示例题目来复习一下。

42 点问题

组合型枚举

排列组合是大家都接触过的概念，而组合型枚举则是在 n 个元素中随机选出 m 个元素的问题。对于每一种可能的选择方案，我们需要确定选择了哪 m 个元素，这就是组合型枚举。
具体而言，组合型枚举解决的是 $C^m_{n}$ 问题，即从 n 个元素中选择 m 个元素的组合数量。
组合型枚举有一套固定的流程和算法模板，需要大家进行记忆。
借助DFS搜索去实现的一个模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;//共计N个数
int m;//选m个数去组合

vector<int> chosen;
string s[1000];
void calc(int x) {
    if (chosen.size() > m || chosen.size() + (n - x + 1) < m) //剪枝，选了的超过m个，就不需要再选了||已经选的数字+还有几个数字没有选如果小于m了，表示把后面所有的数字都选上,也选不够m个数
    //x指 选到第几个数了
    //n-x+1 表示还有几个数没有选，当前选到第三个数，一共有五个数字可以选，5-3，还剩两个数字没处理，+1是因为，处理到第三个数了，第三个数是可以选、可以不选的
        return; //回溯
    if (x == n + 1)  //处理到第n+1个数，如果有答案的话，前面就找到答案了
    { //选够了m个数输出
        for (int i = 0; i < chosen.size(); i++)
            cout<< s[chosen[i]]<<" ";//也可以不输出，存放起来也是可以的，主要是看题目。
        puts("");
        return;
    }
    chosen.push_back(x);
    calc(x + 1);
    chosen.pop_back();//消除痕迹
    calc(x + 1);
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>s[i];
    }
    calc(1);
}

大家有个疑虑，我这里全是数字而且是从 1 开始的能好用吗，我题目要是字母怎么办，那么请看下面的题目。

排列型枚举

上面说过，组合型枚举就是让你在 n 个中，随机选出 m 个，问你有多少种方案，而且每一种方案选择了哪 m 个，这就是组合型枚举。
而排列型枚举相对组合型枚举就简单了一点，就是 n 个的全排列，即从 n 个中选取 n 个但是关心内部的顺序。
相比较组合只关心有多少个集合，而排列是关心集合内的排列方式。即排列型枚举就是寻找 $A^n_{n}$ 问题。
而且排列型枚举也是有着比较成熟的模板需要大家进行记忆。

int n; //共计N个数
int order[20];
bool chosen[20];
<

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