hdu5015 233 Matrix(矩阵快速幂)

题目

给你一个矩阵,

第一行是233,233,2333,

然后会给你a[1][0],a[2][0],…,a[n][0]

且a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]%mod

求a[n][m]

思路来源

https://www.cnblogs.com/whatbeg/p/3971994.html

题解

把第一行都左移一位就可以对系数矩阵快速幂了

然后最后a[n]这一行的向量就是答案

注意那个系数3要放在基础向量里,放在系数矩阵里会越乘越大

除第一行和最后一行外,其余地方对应对角线及其以左的值都配成1,

心得

本来是挺简单的一个题,考察基本功

然而自己磨蹭了1.5h才搞出来, 还是刷题量不够吧

矩阵快速幂的板子不需要太长,一个基本的就够了

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=12;
const int mod=1e7+7;
int n,m;
ll a[maxn]; 
struct mat
{
	ll a[maxn][maxn];
	mat()
	{
		memset(a,0,sizeof a);
	}
	void clear()
	{
		memset(a,0,sizeof a);
	} 
};
mat operator*(mat a,mat b)
{
	mat c;
	for(int i=0;i<=n+1;++i)
	{
		for(int j=0;j<=n+1;++j)
		{
			for(int k=0;k<=n+1;++k)
			{
				c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod;
				if(c.a[i][j]>=mod)c.a[i][j]%=mod;
			}
		}
	}
	return c;
}
mat modpow(mat x,int p)
{
	mat res;
	for(int i=0;i<=n+1;++i)
	res.a[i][i]=1;
	for(;p;x=x*x,p/=2)
	if(p&1)res=res*x; 
	return res;
} 
int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	{
		for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%lld",&a[i]);
		a[0]=233;a[n+1]=3;
		if(n==0&&m==0)
		{
			puts("0");
			continue;
		}
		//if(!n)m--;
		mat ans;
		ans.a[0][0]=10;
		ans.a[0][n+1]=1;
		ans.a[n+1][n+1]=1;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			for(int j=0;j<=i;++j)
			ans.a[i][j]=1;
		}
		ans=modpow(ans,m);
		ll res=0;
		for(int i=0;i<=n+1;++i)
		{
		 res+=ans.a[n][i]*a[i]%mod;
		 if(res>=mod)res%=mod;
	    }
	    printf("%lld\n",res);
	}
	return 0;
} 

 

### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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