The 2024 ICPC Asia East Continent Online Contest (I) C. Permutation Counting 4（二分图完美匹配奇偶 模拟高斯消元/并查集）

题目

每次给定n(n<=1e6)，有n个限制，

第i个限制是(li,ri)，要求第i个数位于[li,ri]之间

问有多少排列同时满足n个限制，答案对2取模，也就是只需要知道奇偶性即可

实际t(t<=1e6)组样例，保证sumn不超过1e6

思路来源

菜菜园子群+daydreamers群

题解

首先，问题转化成二分图的完美匹配计数问题

左边点[1，n]，右边点[1，n]，左边点i向右边点[li，ri]里的每个点连边，问有多少种完美匹配

这个东西可以用积和式求，矩阵的构造方法是a[i][j]=1（如果左i和右j之间有边），否则为0

 

根据积和式的定义，

这个就是n行n列里选n个1出来，任意两个数不在同一行同一列，n!种方案都求和的值

 

而根据行列式的定义，n行n列里选n个1出来，任意两个数不在同一行同一列，

对于这n!种方案，其中逆序对为奇数的排列是减，逆序对为偶数的排列是加

而每项要么是1要么是0，所以这俩东西模2的值是相同的

 

01矩阵（F2上的矩阵/全幺模矩阵）里行列式的值只可能是0，-1，1三种情况，

F2即只有0和1的域（mod 2的域）

线性相关（秩为0）时行列式值是0，单位矩阵E的行列式值是1，给1的两行换一换行列式是-1

所以，问题等价于判断矩阵对应的行列式的值是否为0，即是否线性相关

 

做法是对于每个[l,r]，连边l-1和r，如果出现环，说明线性相关，否则线性无关