AtCoder Beginner Contest 356 G. Freestyle（凸包+二分）

题目

思路来源

quality代码

题解

对n个泳姿点(ai,bi)建凸包，实际上是一个上凸壳，

对于询问(ci,di)来说，抽象画一下这个图，箭头方向表示询问向量

按x轴排增序，并且使得后面的y不小于前面的y，因为总可以多耗费体力达到相同的米数

新增一个点(0,0)，新增一个点(1e9+1,y)，其纵坐标与最后一个点纵坐标相同

对于询问的向量，求它与上凸壳的交点，显然用这个方向的向量是最优的

1. 如果询问的向量在上凸壳第一个点逆时针方向，无解

2. 如果与上凸壳有交点，

显然这个封闭图形内的点都是可以用各种泳姿1s凑出来的，那么交点方向最优，

只需看(ci,di)中的di，是交点处的纵坐标的几倍即可，答案即为这个倍数

3. 如果向量与竖直的这条边有交点，那么最后相当于多耗费体力的情况下1s也可以跑这么多米

那么，两条直线还是有交点的，只是向量与水平直线的交点，

实际用的仍然是交点这个向量，只是实际的含义是y相同的情况下多耗费了体力

然后qls的二分写的就很妙，统一了这三种情况，以及交点恰好是凸包的一个点的情况

我写的就很不优雅，需要讨论三种情况，判断l=0，l=n-1

代码1（qls）

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double db;
struct Point
{
    ll x,y;
    int id;
    Point() {}
    Point(ll _x,ll _y):x(_x),y(_y) {}
    Point operator - (const Point& t)const
    {
        return Point(x-t.x,y-t.y);
    }
    ll operator * (const Point& t)const
    {
        return x*t.y-y*t.x;
    }
};
vector<Point> Graham(vector<Point> p)
{
    p.insert(p.begin(),Point(0,0));
    sort(p.begin(),p.end(),[](const Point& lhs,const Point& rhs)
    {
        return lhs.x==rhs.x ? lhs.y<rhs.y : lhs.x<rhs.x;
    });
    for(size_t i=1; i<p.size(); i++)
        p[i].y=max(p[i].y,p[i-1].y);
    p.emplace_back(1000000001,p.back().y);
    vector<Point> res;
    for(auto& t : p)
    {
        while(res.size()>1 && (t-res.back())*(t-res[res.size()-2])<=0)res.pop_back();
        res.push_back(t);
    }
    res.erase(res.begin());
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    vector<Point> p(n);
    for(int i=0; i<n; i++)
        scanf("%lld%lld",&p[i].x,&p[i].y);
    p=Graham(p);
    n=p.size();
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        Point que;
        scanf("%lld%lld",&que.x,&que.y);
        if(que*p[0]<0)
        {
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        int l=0,r=n-2;//l<=r+1
        while(l<r)//>0 =0 <0 或>0 <0渐变
        {
            int m=(l+r+1)/2;
            if(que*p[m]>0)l=m;
            else r=m-1;
        }
        db k1=1.0L*(p[l+1].y-p[l].y)/(p[l+1].x-p[l].x);
        db b1=p[l].y-k1*p[l].x;
        db k2=1.0L*que.y/que.x;
        db x=b1/(k2-k1),y=k2*x;
        printf("%.18Lf\n",que.y/y);
    }
    return 0;
}

代码2（我的二分）

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double db;
struct Point
{
    ll x,y;
    int id;
    Point() {}
    Point(ll _x,ll _y):x(_x),y(_y) {}
    Point operator - (const Point& t)const
    {
        return Point(x-t.x,y-t.y);
    }
    ll operator * (const Point& t)const
    {
        return x*t.y-y*t.x;
    }
};
vector<Point> Graham(vector<Point> p)
{
    p.insert(p.begin(),Point(0,0));
    sort(p.begin(),p.end(),[](const Point& lhs,const Point& rhs)
    {
        return lhs.x==rhs.x ? lhs.y<rhs.y : lhs.x<rhs.x;
    });
    for(size_t i=1; i<p.size(); i++)
        p[i].y=max(p[i].y,p[i-1].y);
    p.emplace_back(1000000001,p.back().y);
    vector<Point> res;
    for(auto& t : p)
    {
        while(res.size()>1 && (t-res.back())*(t-res[res.size()-2])<=0)res.pop_back();
        res.push_back(t);
    }
    res.erase(res.begin());
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    vector<Point> p(n);
    for(int i=0; i<n; i++)
        scanf("%lld%lld",&p[i].x,&p[i].y);
    p=Graham(p);
    n=p.size();
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        Point que;
        scanf("%lld%lld",&que.x,&que.y);
        if(que*p[0]<0)
        {
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        int l=0,r=n-1;
        while(l<=r){
            int m=(l+r)/2;
            if(que*p[m]>0)l=m+1;
            else r=m-1;
        }
        l--;
        if(l<0)l=0;
        if(l==n-1)l--;
        //if(l==n-1)l--;
        db k1=1.0L*(p[l+1].y-p[l].y)/(p[l+1].x-p[l].x);
        //k1=0 b1=5 k2=8/6 x=5/(8/6)=30/8 y=30/6=5 
        db b1=p[l].y-k1*p[l].x;
        db k2=1.0L*que.y/que.x;
        db x=b1/(k2-k1),y=k2*x;
        printf("%.18Lf\n",que.y/y);
    }
    return 0;
}