洛谷P4161 [SCOI2009]游戏(思维题-循环节+质数+完全背包)

题目

windy学会了一种游戏。

对于1到N (N<=1e3) 这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。

最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。

然后再在这一排下面写上它们对应的数字。

然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。

如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。

如： 1 2 3 4 5 6

对应的关系为

1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6

windy的操作如下

1 2 3 4 5 6

2 3 1 5 4 6

3 1 2 4 5 6

1 2 3 5 4 6

2 3 1 4 5 6

3 1 2 5 4 6

1 2 3 4 5 6

这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。

现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

思路来源

https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/P4161

题解

题面看似很长，实际上就是轮换么，i每次到pi，

注意到，一个长度为x的轮换需要x次才能转回去，

那整体局面的循环节就是子局面循环节的最小公倍数，

问题等价于把n分成若干个整数x1,...,xm，使得m个数之和为n，且排数=lcm(x1,...,xm)

对于每个合法的lcm，都存在一个最小的表示和sum，sum<=n，

n能表示的方案都能用其对应sum表示的方案代替，

只需要找到最小的sum，剩下的都用1补齐即可，这样排数就可以被唯一计数了

那为了使