洛谷P4161 [SCOI2009]游戏——题解

最新推荐文章于 2020-10-30 20:36:28 发布

CleverLarry

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分类专栏：题解文章标签：动态规划（类）背包问题

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本文探讨了一道关于排列的问题，通过将问题转化为求质数的次幂之积的可能取值数量，采用质数表与背包算法进行解决。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题目大意：
不知道怎么简要描述，看原题面吧。

思考过程：
我们首先来考虑如何求一个给定排列的排数，容易发现它就为这一排列中所有循环节（转着转着又能转回去的子串）长度的LCM（最小公倍数）。继续分析我们又能想到，几个数的LCM等于在他们之中出现过的所有质数的最高次幂乘积。然后题目就转化成了：对于一些质数的次幂之和如果小于N，排数就为这些质数的次幂之积，求这个积有多少可能的取值。

具体做法：
1.打一张质数表
2.在质数表上做背包，代表每个质数取几次幂，且始终保证和要小于等于N

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1100;
int book[maxn],prime[maxn];
int n,cnt=0;
long long ans=0;
long long dp[maxn][maxn];

void get_prime()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!book[i])
        { 
            prime[++cnt]=i;
            for(int j=1;j*i<=n;j++) book[i*j]=1;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    get_prime();
//  for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d ",prime[i]); printf("\n");
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        for(int j=0;j<=n;j++) dp[i][j]+=dp[i-1][j];
        for(int j=prime[i];j<=n;j*=prime[i])
            for(int k=j;k<=n;k++)
                dp[i][k]+=dp[i-1][k-j];
    }
    for(int j=0;j<=n;j++) ans+=dp[cnt][j];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;   
}