windy 数 洛谷 P2657 [SCOI2009]

题目：题目链接

分析：

        这个题目的题意十分明显，简单易懂，就不过多阐述。这个题我们可以使用数位dp进行求解。数位dp的题一般有以下特征：

1. 要求统计满足一定条件的数的数量（最终目的为计数）；

2. 这些条件经过转化后可以使用「数位」的思想去理解和判断；

3. 输入会提供一个数字区间（有时也只提供上界）来作为统计的限制；

4. 上界很大（比如1e18等），暴力枚举会超时。

        这个题我们令dp[i][j]表示最高位为j的，位数为i的方案数。显然，对于位数为1的数，方案都是一种，因此dp数组的初始化为dp[1][j]=1，0<=j<=9。由于首位为j的i位数的方案数，为首位的值与j的差的绝对值大于等于二的i-1位数的方案数之和，因此递推公式为：

        其中k为求和变元，k要满足条件：。

        由于dp数组统计的是所有首位为j的i位数的方案，故对于我们的上界和下界，可能会出现取不完（即dp数组的值大于实际情况），例如上界为1234，显然dp[4][1]的值里包含了很大一部分大于1234的数，于是我们要将其单独考虑，不能直接使用dp数组的值。此外，为了运算方便，我们可以使用类似前缀和的方式，令num(x)为以x为上界的方案数，则答案的值为num(r)-num(l-1)，l为左边界，r为右边界。

        那么我们再来看这个上界导致的取不全的问题。我们从上界的最高位往后看，例如现在操作到了第i位，我们令该位值为j，那么我们将j从0开始往上遍历讨论（如果是首位则从1开始，因为首位不能是0），但要注意，j的值需要与前一位的值的绝对值大于等于2，且要严格小于上界再该位的值（若取到了上界在该位的值，同样会导致”取不全“的问题），然后我们将符合条件的dp值累加。此外，若是上界在该位的值已经与前一位的差的绝对值小于2，那么我们就可以不用讨论了，因为往后无论是多少，这个数都不是windy数了。另外，如果我们讨论到了最后一位，且都没有上界数位与前一位差的绝对值小于2，那么我们的方案数要加一，因为上界是windy数，而我们每次都没算上界。

        然后我们再将位数小于上界的所有情况的方案数加起来便是答案。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int l,r,numl,numr;
int dp[12][12];//dp[i][j]表示是i位数且最高位是j

int dfs(int x) {
    if (!x)return 0;//直接返回
    vector<int>v;
    int ans=0,pre=-1;//-1是为了让1跟它的差绝对值也大于等于2
    while (x) {//转化为字符数组操作
        v.push_back(x%10);
        x/=10;
    }
    for (int i=v.size()-1;i>=0;i--) {//从高位往下遍历
        for (int j=((i==v.size()-1))?1:0;j<v[i];j++) {//首位从1开始，其他则从0开始
            if (abs(j-pre)>=2)ans+=dp[1+i][j];
        }
        if (abs(v[i]-pre)<2)break;//不是windy数了
        pre=v[i];//更新“上一位”的值
        if (i==0)ans+=1;//加上上界
    }
    for (int i=1;i<=v.size()-1;i++) {
        for (int j=1;j<=9;j++)ans+=dp[i][j];//位数小于上界的所有情况和
    }
    return ans;
}

int main() {
    memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化
    for (int i=0;i<=9;i++)dp[1][i]=1;
    for (int i=2;i<=10;i++) {//求dp数组
        for (int j=0;j<=9;j++) {
            for (int k=0;k<=9;k++) {
                if (abs(j-k)>=2) {
                    dp[i][j]+=dp[i-1][k];
                }
            }
        }
    }
    cin>>l>>r;
    numl=dfs(l-1);
    numr=dfs(r);
    cout<<numr-numl<<endl;
}