DoA估计中数据模型的构建与分析

1. 基本假设与前提条件

• 介质条件： 假设传播介质是各向同性和无散射的，因此信号以直线传播。
• 平面波假设： 假设传感器阵列接收到的信号处于远场条件。由于处于远场，信号可以建模为平面波，即信号波前到达阵列时，传播延迟是与位置相关的线性函数。
• 单维参数空间： DoA中 ${\theta }_i$ 定义为信号源的方位角（假设在二维空间中， ${\theta }_i\in [-\pi ,\pi ]）。$
• 窄带信号： 接收到的信号假设为窄带，这意味着信号的频率范围非常窄，时间延迟可以近似为相位偏移。

2. 窄带信号表示

       \space \space \space \space \space \space        在窄带信号假设下，接收到的信号 $s_i(t)$ 可以表示为：

$$s_i(t)=u_i(t)\cos ({\omega }_{0}t+v_i(t)),$$
       \space \space \space \space \space \space        其中，$u_i(t)$ 、 $v_i(t)$ 分别表示随时间缓慢变化的信号幅度、相位分量，${\omega }_0$ 是信号的中心频率。

3. 复包络表示 (Complex Envelope Representation)

       \space \space \space \space \space \space        为了便于分析，使用复包络表示将信号建模为：

$$s_i(t)\approx u(t)e^{j({\omega }_{0}t+v(t))},$$
       \space \space \space \space \space \space        其中，复指数项 $e^{j({\omega }_{0}t)}$ 表示中心频率部分，缓慢变化项 $u(t)$ 和 $v(t)$ 包含了幅度与相位的变化。

       \space \space \space \space \space \space        在窄带假设下，对于所有可能的传播时延 $\tau$：

$$u(t)\approx u(t-\tau )、v(t)\approx v(t-\tau )$$
       \space \space \space \space \space \space        因此，时间延迟对接收信号的影响可以简单地表示为相位偏移：

$$s(t-\tau )\approx s(t)e^{-j{\omega }_0\tau },$$

4. 阵列接收信号模型

       \space \space \space \space \space \space        假设有 $d$ 个信号源，对于由 $m$ 个传感器组成的传感器阵列，接收到的信号是多个源信号 $s_i(t)$ 的叠加形式。

       \space \space \space \space \space \space        第 $k$ 个传感器接收到的信号 $x_k(t)$ 可以表示为：

$$\begin{array}{rl}{x}_k(t)& =\sum _{i=1}^d{a}_k({\theta }_i)s_i(t-{\tau }_k({\theta }_i)\\ & =\sum _{i=1}^d{a}_k({\theta }_i)s_i(t)e^{-j{\omega }_0{\tau }_k({\theta }_i)}\end{array}$$

       \space \space \space \space \space \space        其中，${\theta }_i$ 是第 $i$ 个信号源的方向角；$a_k({\theta }_i)$ 是第 $k$ 个传感器对第 $i$ 个信号在频率 ${\omega }_0$ 处的响应（增益和相位）；${\tau }_k$ 是信号到达第 $k$ 个传感器的传播延迟。

5. 向量化表示

       \space \space \space \space \space \space        对 $m$个传感器的输出使用向量表示法，令：

$$\mathbf{a}\left({\theta }_i\right)={\left[a_1\left({\theta }_i\right)e^{-j{\omega }_0{\tau }_1\left({\theta }_i\right)},\cdots ,a_m\left({\theta }_i\right)e^{-j{\omega }_0{\tau }_m\left({\theta }_i\right)}\right]}^T,$$

       \space \space \space \space \space \space        可以得到：
$$\mathbf{x}(t)=\sum _{i=1}^d\mathbf{a}({\theta }_i)s_i(t),$$

其中，

• $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{C}}^{m\times 1}$ 是所有传感器的接收信号向量；
• $\mathbf{a}({\theta }_i)\in {\mathbb{C}}^{m\times 1}$ 是第 $i$ 个信号源的阵列响应向量（也称为阵列导向矢量）；
• $s_i(t)$ 是第 $i$ 个信号；
• $d$ 是信号源的数量。

       \space \space \space \space \space \space        进一步整合，并将所有信号源和噪声 $\mathbf{n}(t)$ 纳入考虑，令 $\mathbf{A}(\mathbf{\theta })=\left[\mathbf{a}({\theta }_1),\cdots ,\mathbf{a}({\theta }_d)\right]$，$\mathbf{s}(t)={\left[s_1(t),\cdots ,s_d(t)\right]}^T$，则接收数据的完整模型为：

$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{A}(\mathbf{\theta })\mathbf{s}(t)+\mathbf{n}(t).$$

注意，$\mathbf{x}(t)，\mathbf{n}(t)\in {\mathbb{C}}^m，\mathbf{s}(t)\in {\mathbb{C}}^d，\mathbf{A}(\mathbf{\theta })\in {\mathbb{C}}^{m\times d}$，通常假设 $m>d$。

至此，就得到了信号模型的表达形式，目前最常见的便是这种。

参考文献

R. Roy and T. Kailath, “ESPRIT-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,” in IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. 37, no. 7, pp. 984-995, July 1989.