常规波束形成——时域波束形成、频域波束形成

原创

于 2025-03-05 17:14:24 发布 · 2.5k 阅读

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#信号处理 #python

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最近在写代码的时候发现自己对波束成形的理解依旧不是很透彻，就重新找资料学习了一下，整理一下加深印象并在此做个记录。参考资料如下：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/10781326364
https://blog.youkuaiyun.com/Xujing1143/article/details/120182410
https://www.sharetechnote.com/html/Handbook_LTE_BeamForming.html

PS：如果大致知道波束形成是什么，但是对它的时延计算、复指数 $e^{-jwt}$ 的符号由来、相位补偿、又或者是频域波束形成有点迷的小伙伴可以从实例开始看~

1. 基本概念

波束形成是一种利用多个传感器（如麦克风或天线）的阵列处理技术。它是指将一定几何形状排列的多元基阵的各个阵元输出，经过处理（如加权、时延、求和等）形成空间指向性的方法。

目的：提取特定方向来的信号，抑制其他方向上的信号。因此波束形成器可以等效为一个空间滤波器。
实际应用：估计目标信号的存在性，并对信号的入射方位进行估计。
核心思想：
○ 信号到达不同传感器的时间不同（取决于信号的入射角）；
○ 利用这一定向性信息，通过加权和调整延迟来增强某个方向的信号，同时抑制其他方向的信号。
分类：一般分为常规波束形成（CBF）和自适应波束形成（ABF）。

2. 常规波束形成

根据实现的途径不同，分为时延波束形成和频移波束形成。

2.1 时延波束形成（Delay-and-Sum Beamforming）

概念

直接对接收信号进行时延补偿（对准某个方向的波前），然后对所有传感器的数据求和。
在某个方向上完全对齐的信号会相干增强，而其他方向的信号由于相移不同，会部分或完全相互抵消。

公式

在这里插入图片描述
设传感器接收到的信号为 $s_i(t)$ ，导向向量为 $a(θ)\mathbf{a}(\theta)$ ，则波束形成输出为：
$y(t)=Σi=1Mwisi(t)y(t)=\Sigma_{i=1}^Mw_i s_i(t)$
其中：

$M$ 是传感器个数。
$w_i$ 是波束形成的权重（在常规波束形成中，通常 $w_i=1$ ）。
若信号的方向为 $θd\theta_d$ ，则需要对 $s_i(t)$ 进行适当的延迟补偿，使得所有信号在该方向上对齐。

缺点

不能很好地抑制干扰和噪声，如果有多个信号源，干扰较大。
角度分辨率较低。

实例：以均匀线性阵（ULA）为例

（1）阵列接收信号的表示
假设远场信号为频率为 $f_0$ 的单频信号： $x(t)=cos⁡(2πf0t)x(t)=\cos(2\pi f_0 t)$
相邻阵元间存在时延，对于任意角度 $θ\theta$ ，相邻阵元的时延差为：
$τ=dsin⁡(θ)c\tau = \frac{d\sin(\theta)}{c}$
其中， $d$ 为阵元间距， $θ\theta$ 为信号来源方向与基阵法线的夹角。以第一个阵元为参考阵元，则每个阵元相对其的时间差可以表示为：
$,(M−1)dsin⁡(θ)c]\Delta t = \left[ 0, \tau, 2\tau,\cdots,(M-1)\tau] = [0, \frac{d\sin(\theta)}{c}, \frac{2d\sin(\theta)}{c}, \cdots, \frac{(M-1)d\sin(\theta)}{c} \right]$
相应地，相位差为：
$,2πf0(M−1)dsin⁡(θ)c]\Delta \phi = \left[ 0, 2\pi f_0 \frac{d\sin(\theta)}{c}, 2\pi f_0 \frac{2d\sin(\theta)}{c},\cdots, 2\pi f_0 \frac{(M-1)d\sin(\theta)}{c} \right]$
由于这个相位差是阵元间空间位置不同所造成的，因此称之为“空间相位差”。

在某一时刻对所有每个阵元同时采样（一个快拍），将会得到 $M$ 个数据点，将这 $M$ 个数据点排列起来，可以得到这一时刻阵列的接收信号：
$,e−j2πf0(M−1)dsin⁡(θd)c]⏟a(θd)x(n)=a(θd)⋅x(n)\begin{aligned} \boldsymbol{y}(n) & =\left[x(n), x(n) e^{-j 2 \pi f_{0} \frac{d \sin \left(\theta_{d}\right)}{c}}, x(n) e^{-j 2 \pi f_{0} \frac{2 d \sin \left(\theta_{d}\right)}{c}}, \cdots, x(n) e^{-j 2 \pi f_{0} \frac{(M-1) d \sin \left(\theta_{d}\right)}{c}}\right] \\ & =\underbrace{\left[1, e^{-j 2 \pi f_{0} \frac{d \sin \left(\theta_{d}\right)}{c}}, e^{-j 2 \pi f_{0} \frac{2 d \sin \left(\theta_{d}\right)}{c}}, \cdots, e^{-j 2 \pi f_{0} \frac{(M-1) d \sin \left(\theta_{d}\right)}{c}}\right]}_{\boldsymbol{a}\left(\theta_{d}\right)} x(n) \\ & =\boldsymbol{a}\left(\theta_{d}\right) \cdot x(n) \end{aligned}$