滑模控制：积分滑模控制器设计方法及其理稳定性证明

摘要

   本篇博客用于记录个人学习相关，内容涉及积分滑模及其抖振抑制。阅读该博客需具有基本的线性滑模及一阶常微分方程相关知识。

引言

  积分滑模是在基本线性滑模基础上的一个新形式，目前能找到最早的记录是由滑模创始人Utkin在1996年的CDC会议论文[1]中提出，该论文所阐述积分滑模相对于基本的线性滑模有以下两个改进，一是初始时刻状态便在滑模面上，省去了基本线性滑模中状态趋向于滑模面的这一个过程，保证了全过程的鲁棒性，二是积分滑模可以削减抖振。

问题

  对于一个理想的无扰动及不确定性的非线性自治系统（本文均考虑自治系统）
$$\begin{array}{c}\dot{x}=f(x)+B(x)u\end{array}$$其中$f(x)\in {\mathbb{R}}^n$，$B(x)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$为非奇异矩阵，且都是已知的，我们可以找到一个$u=u_0\in {\mathbb{R}}^n$，使得该系统稳定，比如：$u_0=-B^{-1}(f(x)+x)$，则有
$$\begin{array}{c}\dot{x}=-x\end{array}$$此时通过Lyapunov定理或直接求解常微分方程即可得到该系统是渐近稳定的。
然而实际系统中扰动和不确定性是不可避免的，其一般的系统方程表示为：
$$\begin{array}{c}\dot{x}=f(x)+B(x)u+h(x,t)\end{array}$$ 其中h(x,t)为匹配扰动（本文只考虑匹配扰动），也就是说该扰动在控制矩阵张成的子空间中：h(x,t)∈span{B(x)}h(x,t)\in span \{B(x)\}h(x,t)∈span{B(x)}，或者说能表示为：$h(x,t)=B(x)u_h$。
  对于含扰动及不确定性的系统，显然上述的$u_0$不能使其稳定。目前存在很多相关的控制器能使其稳定，本文考虑使用积分滑模控制器。

假设一：扰动有上界，即$||u_h||<D$，$D为一大于零的常数$。

积分滑模控制器

  积分滑模的滑模函数设计如下：$$\begin{array}{rl}s=& s_0(x)+z,\\ \dot{z}=& -\frac{\partial s_0}{\partial x}\left(f(x)+B(x)u_0(x)\right),z(0)=-s_0(x(0))\end{array}$$
式(4)的等价形式：$$\begin{array}{c}s=s_0(x)-{\int }_0^t\frac{\partial s_0}{\partial x}\left(f(x)+B(x)u_0(x)\right)-s_0(x(0))\end{array}$$
其中$s_0(x)$可设计为，$s_0(x)=B^{-1}x$，$\frac{\partial s_0}{\partial x}=B^{-1}$。
显然有s(0)=0。
设计$u=u_0+u_I\in {\mathbb{R}}^n$，其中$u_I=-(D+\eta )\mathbf{sign}(\mathrm{s})$，$\mathbf{sign}(\mathbf{s})=[\mathrm{sign}({\mathrm{s}}_1),\mathrm{sign}({\mathrm{s}}_2),\dots \mathrm{sign}({\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}){]}^{\mathrm{T}}$，$\eta$为一大于零的常数。

稳定性证明

  设计候选Lyapunov函数为：$V=\frac{1}{2}{s}^{T}s$，其对时间导数为：
$$\begin{array}{rl}\dot{V}=& s^T\dot{s}\\ =& s^T({\dot{s}}_0+\dot{z})\\ =& s^T{B}^{-1}\left(f(x)+B(x)(u_0+u_I+u_h)-f(x)-B(x)u_0\right)\\ =& s^T(u_h-(D+\eta )\mathbf{sign}(\mathrm{s}))\\ <& -\eta s^T\mathbf{sign}(\mathrm{s})<0\end{array}$$
  因此s是渐近稳定的，满足可达性要求。
对于$s=0$有，$\dot{s}=0$，对式(4)求导有
$$\begin{array}{c}\dot{x}=f(x)+B(x)u_0\end{array}$$
根据式(2)，系统是渐近稳定的。

抖振抑制

  抖振抑制的方法比较多，像饱和函数边界层、观测器、以及这里提到的积分滑模。使用饱和函数构建边界层会使得滑模变量只能收敛到边界层内，而不是真的等于0，损失了鲁棒性及精度，观测器一般就是构造扰动观测器去估计扰动并进行补偿，进而切换项只需抵抗估计误差即可，相对来说比较有效果。
  Utkin在该论文中虽然说的是积分滑模抑制抖振，但实际上是用的一阶滤波器做等效控制的方法，一阶滤波器设计为：
$$\begin{array}{c}\mu {\dot{u}}_{eq}+u_{eq}=u_I\end{array}$$然后直接设计$u=u_0+u_{eq}$即可，此时滑模面设计为$$\begin{array}{c}s=s_0(x)-{\int }_0^t\frac{\partial s_0}{\partial x}\left(f(x)+B(x)(u-u_I)\right)-s_0(x(0))\end{array}$$为啥要改成这样，其实还是稳定性证明的需要，设计候选Lyapunov函数$V=\frac{1}{2}{s}^{T}s$，求导有：
$$\begin{array}{rl}\dot{V}=& s^T\dot{s}\\ =& s^T({\dot{s}}_0+\dot{z})\\ =& s^T{B}^{-1}\left(f(x)+B(x)(u_0+u_{eq}+u_h)-f(x)-B(x)(u_0+u_{eq}-u_I)\right)\\ =& s^T(u_h-(D+\eta )\mathbf{sign}(\mathrm{s}))\\ <& -\eta s^T\mathbf{sign}(\mathrm{s})<0\end{array}$$
系统渐近稳定。

讨论

  积分滑模相对于基本的线性滑模有两个优点，一个是初始时刻状态便在滑模面上，从而保证了整个过程的鲁棒性；另一个就是抑制抖振，虽然积分滑模不直接用于设计无抖振的控制器，而是通过一阶低通滤波器设计的，但是通过积分滑模可以证明该控制器的稳定性。
  举个简单例子，对于系统$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1=& x_2\\ {\dot{x}}_2=& u+d\end{array}$$如果是使用线性滑模，设计滑模函数$s=x_1+x_2$，$u=-x_2+u_{smc}$，$u_{smc}=-(D+\eta )\mathrm{sign}(\mathrm{s})$。此时能使得系统稳定，但是抖振比较大。
  如果直接使用一阶滤波器(8)，那么构造候选Lyapunov函数$V=\frac{1}{2}{s}^2$，求导：
$$\begin{array}{rl}\dot{V}=& s(x_2+u+d)\\ =& s(u_{eq}+d)\end{array}$$会发现此时是无法证明$\dot{V}$小于零的。

总结

  积分滑模通过使用一阶滤波器抑制抖振，同时初始时刻状态在滑模面上，保证了全过程的鲁棒性，具体可参考[1]。一阶滤波器后的$u_{eq}$和$u_I$其实是有误差的，但是误差有界，比较小，可参考[2]的第二十三和二十四页，大致证明如下：

参考文献

[1] V. I. Utkin and J. Shi, “Integral sliding mode in systems operating under uncertainty conditions,” in Proc. 35th IEEE Conf. Decis. Control, vol. 4, Kobe, Japan, Dec. 1996, pp. 4591–4596.
[2]V. Utkin, Sliding Modes inControl and Optimization (Ser.Communication and Control Engineering). Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1992.