滑模控制与电机角度滑模观测器解析-优快云博客

目录

一、滑模控制

1.1 滑模控制器概述

1.2 滑模控制举例

1.2.1 滑模控制调速案例引入

1.2.2 定义误差

1.2.3 设计滑模面函数

1.2.4 控制律

1.2.5 离散化后代码演示

1.3 滑模切换面和滑模运动过程图解

1.3.1 滑模切换面

1.3.2 滑模运动过程

1.4 与 PID 控制的区别

1.4.1 线性控制与非线性控制

二、滑模观测器基本概念

2.1 什么是观测器

2.2 滑膜观测器基本概念

三、应用观测电机角度的滑模观测器

3.1 反电动势与角度的关系

3.2 静态电压方程

3.2.1 A、B、C 三相电压方程

3.2.1 α、β 轴电压方程

3.2.2 α、β 轴电压方程改成写电流微分形式

3.3 反电动势的滑模观测器

3.3.1 构造反电动势的滑模观测面

3.3.2 构造反电动势的控制律

3.3.3 电流微分公式 (电流预估模型)

3.3.3 代码演示

3.4 通过 α 和 β 轴反电动势计算角度

一、滑模控制

1.1 滑模控制器概述

滑模控制是一种非线性控制方法。它的核心思想是：在状态空间中设计一个滑模面 (sliding surface)，比如：

$s(x)=0$

$s(x)$ = 状态的某种组合 (比如速度误差、电流误差)

如果 $s(x)$ 是速度误差函数，所谓滑模面也就是速度误差等于 0 的情况。通过控制律让系统快速到达这个面，以速度误差举例，就是让其误差快速到达 0。一旦到达滑模面，系统就沿着这个面移动，最终达到收敛状态。

换种通俗的例子：给系统设计一条轨道 (滑模面)，不管它一开始在哪，控制器都会强行把它推到轨道上，并且保证它沿轨道滑到终点。

1.2 滑模控制举例

1.2.1 滑模控制调速案例引入

我们考虑一个直流电机调速的场景，用滑模控制给直流电机调速。

其流程是

定义误差 (目标速度减去当前速度)
将误差输入滑模面 (将误差求积分，但是滑模函数的目标值 = 0)
滑模面输入控制律，控制律输出调速电压。
捕捉当前速度，计算误差。

1.2.2 定义误差

$error=\omega ^{*}-\omega$

$\omega ^{*}$ = 目标速度
$\omega$ = 实际速度

1.2.3 设计滑模面函数 $s(x)$

$s = error + \lambda \int error \, dt$

$\lambda$ = 积分权重

其滑模函数 $s(x)$ = 0，也就是相当于我们的理想情况下应该是 0 误差的。

1.2.4 控制律

$u=u_{eq}-K\cdot sgn(s)$

$u=$ 实际施加到系统上的控制输入 (在这里是电压)
$u_{eq}$ = 等效控制电压 (在这里可以是通过电机的 KV 计算的电压)
$K$ = 滑模增益系数
$sgn(s)$ = 符号函数，内的 s 就是我们的滑模面函数

其中 $sgn(s)$ 函数定义如下：

$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} +1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$

其中这个等效控制电压 $u_{eq}$ 相当于是在理想情况，无外部干扰的对应关系。比如使用电机的 KV 值直接算出来的速度。但是通常来说电机不仅会带载，还会发热，这些都会影响到 KV 值的参数。其控制律就是利用这个值和误差累加做差得到的。我们的等效控制值越准，整个系统的性能就越好。

1.2.5 离散化后代码演示

下面代码是滑模控制器控制电机速度的代码：

// 参数
float lambda = 50.0f;    // λ 系数
float Ts = 0.001f;       // 采样周期 (1 kHz)
float K = 2.0f;          // 切换增益
float Kv = 1000.0f;      // 电机常数 [rpm/V]，需要根据电机实际参数修改

// 变量
float e;                 // 误差
float e_int = 0.0f;      // 误差积分
float s;                 // 滑模面
float u;                 // 控制输入（电压命令）

// 滑模控制函数
float sliding_mode_control(float ref_speed, float meas_speed)
{
    // 计算误差
    e = ref_speed - meas_speed;

    // 误差积分 (离散积分)
    e_int += e * Ts;

    // 滑模面公式 s = e + λ ∫ e dt
    s = e + lambda * e_int;

    // 等效控制：补偿反电动势 (简单模型)
    // Kv [rpm/V] -> 转速除以 Kv 得到所需电压
    float u_eq = meas_speed / Kv;

    // 切换控制项
    float u_sw = -K * (s > 0 ? 1.0f : -1.0f);

    // 总控制律
    u = u_eq + u_sw;

    return u;  // 输出电机电压命令
}

1.3 滑模切换面和滑模运动过程图解

1.3.1 滑模切换面

这张图是滑模控制 (Sliding Mode Control,SMC) 里面常见的切换面 (Switching Surface) 上三种典型点的特性示意图。

含义如下：

横线 (s = 0)：表示切换面 (switching surface)。
s>0、s<0：表示系统状态在切换面两侧的区域。
A、B、C 三个点：表示系统轨迹与切换面相交或接触时可能的三种情况。

A 点 (穿越点)：

系统状态从 s<0 一侧穿到 s>0 一侧。说明滑模控制律设计得不好，轨迹没有被吸引到切换面，而是直接穿过去。不会形成滑模运动。

B 点 (驻留点 / 临界点)：

系统状态到达切换面时，切换面的法向速度分量为 0。表示轨迹在切换面上既不进入也不离开，可能停在边界上。稍微扰动就会跑到一边去，不稳定。

C 点 (到达点 / 吸引点)：

系统状态到达切换面，并被两侧的控制力推向切换面。说明系统设计合理，轨迹最终会被“吸附”在切换面上，形成稳定的滑模运动 (Sliding motion)。这是滑模控制希望达到的状态。

1.3.2 滑模运动过程

这个图也是 滑模控制（Sliding Mode Control, SMC） 的典型示意图，展示的是系统状态轨迹在切换面上的运动情况。

滑模面的横纵分别是误差和和归零的导数，也就是误差和误差变化率。误差越大，变化率就越大，在滑模面这种理想情况下是呈线性关系的，但是我们控制的线回归零点却是曲线，一定要梳理好这张图的关系！！！

坐标轴：

横轴 (位置/误差)
纵轴 (速度/误差导数)

直线 $s=0$ :

切换面，也叫滑模面。它是设计出来的，使得当轨迹被吸引到这条线上后，系统误差可以稳定收敛。

曲折的轨迹：

系统状态 $(x_{1},x_{2})$ 由初始点开始，受控制律作用逐渐靠近并贴合在切换面 $s=0$ 上。

$\dot{x}$ 箭头方向：

表示在切换面上系统状态沿着轨迹向原点 (平衡点) 运动。

Reaching Phase（到达阶段）

系统状态最开始不在滑模面上。控制律会驱动它逐渐靠近滑模面。

Sliding Mode（滑动阶段）

状态一旦进入滑模面（黑线）附近，就被“粘住”，沿着黑线往原点移动。这就是滑模。

Chattering（抖振）

由于控制输入的开关特性，系统不会严格落在黑线上，而是会在黑线附近高频抖动。这就是图上画的锯齿波。

Equilibrium Point（平衡点）

当状态最终滑到原点时，意味着误差 $e=0,\dot{e}=0$ 。这就是目标状态 (比如速度完全跟随指令)。

1.4 与 PID 控制的区别

我们可见，PID 控制和非常相似，都有累加积分误差然后输出。

其最大的区别是滑模控制是非线性控制，而 PID 线性控制。其次的区别是，滑模控制的控制律依赖等效控制这个变量，而 PID 在任何地方也不依赖等效控制。

1.4.1 线性控制与非线性控制

对于 PID 和滑模控制来说，线性和非线性的区别是对于输出的区别：

$u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) \, d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}$

其中比例项、积分项、微分项均有线性依赖关系。

我们再看滑模控制的控制律：

$u=u_{eq}-K\cdot sgn(s)$

其在 $sgn(s)$ 函数的作用下产生跳变：当 $s>0$ 输出 $-K$ ，当 $s<0$ 输出 $+K$ 所以这里的 $sgn(s)$ 是典型非线性函数。

二、滑模观测器基本概念

2.1 什么是观测器

观测器观测的是传感器无法测量的变量。顾名思义是为了观测某个变量，但是这个变量我又没有传感器可以直接测量，比如经典的一个例子：

火箭发动机的温度，温度非常高，不可能有传感器直接测量的，那么这时候就要用观测器，我虽然不能直接测火箭发动机温度，但是我可以测量火箭表面温度，然后通过热传导公式计算出发动机温度。

假设火箭温度关系满足下列公式：

$T_{surface}=m\cdot u+n\cdot T_{engine}$

$T_{surface}$ = 火箭表面温度
$u$ = 燃料量
$m$ = 不定系数
$n$ = 不定系数
$T_{engine}$ = 发动机温度

其中 $u$ 是燃料量， $m$ 、 $n$ 是不确定系数。

实际测得的表面温度 $T_{surface}$ 与模型计算得到的温度 $T_{engine}$ 一般不相等。为此，我们设计一个状态观测器，使 $T_{engine}$ 逐渐逼近 $T_{surface}$ ，并在这个过程中动态修正系数 $m$ 、 $n$ 从而实时估计发动机温度。

2.2 滑膜观测器基本概念

滑模观测器 (Sliding Mode Observer，SMO）是一种用于系统状态估计的非线性观测器，尤其常用于电机控制 (如无传感器控制的永磁同步电机 PMSM) 来估计难以直接测量的量，比如转子位置、速度或反电动势。

滑模观测器是一类基于滑模控制思想的观测器，滑模观测器也包括滑模控制最核心的滑模面和控制律思想。

三、应用观测电机角度的滑模观测器

3.1 反电动势与角度的关系

由于电机三相角度相差为 120° ，A 相的反电动势，相位差为0°；B 相则是120°；C 相是240°

也就是三项反电动势公式为：

$V_{BEMF_A} = \omega \times k_{e}\times sin(\theta + 0 )$

$V_{BEMF_B} = \omega \times k_{e}\times sin(\theta + 120 )$

$V_{BEMF_C} = \omega \times k_{e}\times sin(\theta + 240 )$

下图则是三项反电动势和角度的关系。可见，我们只要能准确的获得当前电机的反电动势，即可计算器的当前角度。

3.2 静态电压方程

3.2.1 A、B、C 三相电压方程

这是一个三相无刷电机（或者同步电机）的 等效电路模型，是相电路（单相绕组）建模之后，再按三相星形（Y 形）连接表示出来的。

我们将 A 相单独列出来，如下图：

可见，对电压有阻碍作用的有：

$R_{m}$ = 相电阻（绕组电阻）
$L_{m}$ = 相电感（绕组电感）
$V_{BEMF}$ ：反电动势源，用来表示转子旋转时感应出来的电压。

整理公式可得：

$\left\{\begin{matrix} U_a = R_m i_a + L_m \frac{di_a}{dt} + e_a \\ U_b = R_m i_b + L_m \frac{di_b}{dt} + e_b \\ U_c = R_m i_c + L_m \frac{di_c}{dt} + e_c \end{matrix}\right.$

$U_{abc}$ = 三相绕组的端电压 (A、B、C)。这是逆变器通过 PWM 作用在定子绕组上的电压
$i_{abc}$ = 三相绕组的电流 (A、B、C)
$R_{m}$ = 定子相电阻 (每一相绕组的电阻)
$L_{m}$ = 定子相电感 (假设三相对称，电感相同，不考虑互感时的简化模型)
$\frac{di_{abc}}{dt}$ = 三相电流对时间的导数，对应绕组电感电压降。
$e_{abc}$ = 三相反电动势 (Back-EMF)，由转子磁场切割定子绕组磁链产生。它们与转速、转子位置及磁链相关。

3.2.1 α、β 轴电压方程

在 α、β 轴的电压方程和三项电压方程一样：

$\left\{\begin{matrix} U_\alpha = R_m i_\alpha + L_m \frac{d i_\alpha}{dt} + e_\alpha \\ U_\beta = R_m i_\beta + L_m \frac{d i_\beta }{dt} + e_\beta \end{matrix}\right.$

$U_{\alpha \beta }$ = 三相绕组的端电压 (α、β)。这是逆变器通过 PWM 作用在定子绕组上的电压
$i_{\alpha \beta}$ = 三相绕组的电流 (α、β)
$R_{m}$ = 定子相电阻 (每一相绕组的电阻)
$L_{m}$ = 定子相电感 (假设三相对称，电感相同，不考虑互感时的简化模型)
$\frac{di_{\alpha \beta}}{dt}$ = 三相电流对时间的导数，对应绕组电感电压降。
$e_{\alpha \beta}$ = 三相反电动势 (Back-EMF)，由转子磁场切割定子绕组磁链产生。它们与转速、转子位置及磁链相关。

将其变形的可得：

$u_{\alpha \beta }$ = 定子在 $\alpha \beta$ 静止坐标系下的电压分量
$i_{\alpha \beta }$ = 定子在 $\alpha \beta$ 静止坐标系下的电流分量
$i_{dq}$ = 定子电流在 $dq$ 旋转坐标系下的分量 (d 轴、q 轴)
$L_{dq}$ = $dq$ 轴电感 (分别是沿磁链方向的电感和垂直于磁链方向的电感)
$R_{s}$ = 定子电阻
$\psi _{f}$ = 由永磁体产生的磁链 (主磁链)
$\theta$ = 转子电角度 (电角位置，dq 坐标旋转角度)
$\omega _{e}$ = 电角速度

我们来一步一步分析这个公式：

定子电阻压降：

$R_{s} \begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}$

$R_{s}$ = 定子电阻
$i_{\alpha \beta }$ = 定子在 $\alpha \beta$ 静止坐标系下的电流分量

电感和交叉耦合项：

加号前是电感的压降；加号后是由于电机是转子坐标变化，d、q 轴电感不相等时 (凸极电机)，会出现耦合效应：

$\begin{bmatrix} L_{d} & 0 \\ 0 & L_{d} \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & \omega_{e}(L_{d}-L_{q}) \\ -\omega_{e}(L_{d}-L_{q}) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}$

$L_{dq}$ = d、q 轴电感 (分别是沿磁链方向的电感和垂直于磁链方向的电感)
$i_{\alpha \beta }$ = 定子在 α、β 轴静止坐标系下的电流分量
$\omega _{e}$ = 电角速度

如果是 d、q 相等的表贴式电机则只有加号前的部分：

$\begin{bmatrix} L_{d} & 0 \\ 0 & L_{d} \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}$

$L_{dq}$ = d、q 轴电感 (分别是沿磁链方向的电感和垂直于磁链方向的电感)
$i_{\alpha \beta }$ = 定子在 α、β 轴静止坐标系下的电流分量

转子磁链相关项：

由永磁体产生的反电动势导致的压降，这个我们在下面的公式直接写成 $E_{\alpha \beta }$

$\Big[ (L_{d}-L_{q})\big(\omega_{e} i_{d} - \tfrac{d}{dt} i_{q}\big) + \psi_{f}\omega_{e} \Big]\begin{bmatrix} -\sin\theta_{e} \\ \cos\theta_{e} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} E_{\alpha } \\ E_{\beta } \end{bmatrix}$

$L_{dq}$ = $dq$ 轴电感 (分别是沿磁链方向的电感和垂直于磁链方向的电感)
$\omega _{e}$ = 电角速度
$i_{dq}$ = 定子电流在 $dq$ 旋转坐标系下的分量 (d 轴、q 轴)
$\psi _{f}$ = 由永磁体产生的磁链 (主磁链)
$\theta$ = 转子电角度 (电角位置，d、q 坐标旋转角度)
$E_{\alpha \beta }$ = α、β 轴的反电动势

3.2.2 α、β 轴电压方程改成写电流微分形式

$\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -\tfrac{R_s}{L_d} & -\tfrac{\omega_e (L_d - L_q)}{L_d} \\ \tfrac{\omega_e (L_d - L_q)}{L_d} & -\tfrac{R_s}{L_d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix} +\frac{1}{L_d} \begin{bmatrix} u_{\alpha} \\ u_{\beta} \end{bmatrix} -\frac{1}{L_d} \begin{bmatrix} E_{\alpha} \\ E_{\beta} \end{bmatrix}$

$u_{\alpha \beta }$ = 定子在 α、β 轴静止坐标系下的电压分量
$i_{\alpha \beta }$ = 定子在 α、β 轴静止坐标系下的电流分量
$i_{dq}$ = 定子电流在 d、q 旋转坐标系下的分量 (d 轴、q 轴)
$L_{dq}$ = d、q 轴电感 (分别是沿磁链方向的电感和垂直于磁链方向的电感)
$R_{s}$ = 定子电阻
$\psi _{f}$ = 由永磁体产生的磁链 (主磁链)
$\theta$ = 转子电角度 (电角位置，d、q 坐标旋转角度)
$\omega _{e}$ = 电角速度
$E_{\alpha \beta }$ = α、β 轴的反电动势

3.3 反电动势的滑模观测器

反电动势的滑模观测器核心思想是，根据电流和预估电流的误差预估一个反电动势 $v_{\alpha \beta }$ ，然后带入电流微分公式，得到预估电流。循环这个过程，我们便得到了 α、β 轴的反电动势。

3.3.1 构造反电动势的滑模观测面 $s(x)$

$s=\left[\begin{array}{l} s_{1} \\ s_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \tilde{i}_{\alpha} \\ \tilde{i}_{\beta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \hat{i}_{\alpha}-i_{\alpha} \\ \hat{i}_{\beta}-i_{\beta} \end{array}\right]$

$\tilde{i}_{\alpha\beta }$ = 电流估计误差
$\hat{i}_{\alpha\beta }$ = 电流估计值

此时，在 $s(x) = 0$ 意味着我们观测的反电动势是正确的。

3.3.2 构造反电动势的控制律

$\left[ \begin{array}{l} v_{\alpha} \\ v_{\beta} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} h \cdot \operatorname{sign}\left(\hat{i}_{\alpha}-i_{\alpha}\right) \\ h \cdot \operatorname{sign}\left(\hat{i}_{\beta}-i_{\beta}\right) \end{array} \right]$

其中 $sgn(s)$ 函数定义如下：

$\operatorname{sign}(x) = \begin{cases} +1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$

此时我们便得到了预估的 α 和 β 轴的反电动势。

其效果是这样的，那条 45° 直线是滑模面。横轴是误差，纵轴是误差的导数。

在理想的情况下，也就是滑模面，也就是误差和误差回正导数正线性比例。

3.3.3 电流微分公式 (电流预估模型)

$\frac{d}{d t} \begin{bmatrix} \hat{i}_{\alpha} \\ \hat{i}_{\beta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{R_{s}}{L_{d}} & -\frac{\omega_{e}(L_{d}-L_{q})}{L_{d}} \\ \frac{\omega_{e}(L_{d}-L_{q})}{L_{d}} & -\frac{R_{s}}{L_{d}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{i}_{\alpha} \\ \hat{i}_{\beta} \end{bmatrix} + \frac{1}{L_{d}} \begin{bmatrix} u_{\alpha} \\ u_{\beta} \end{bmatrix} - \frac{1}{L_{d}} \begin{bmatrix} v_{\alpha} \\ v_{\beta} \end{bmatrix} \quad$

$\hat{i}_{\alpha\beta }$ = 电流估计值
$v_{\alpha \beta }$ = 估计的反电动势
$u_{\alpha \beta }$ = 定子在 α、β 轴静止坐标系下的电压分量
$i_{dq}$ = 定子电流在 d、q 旋转坐标系下的分量 (d 轴、q 轴)
$L_{dq}$ = d、q 轴电感 (分别是沿磁链方向的电感和垂直于磁链方向的电感)
$R_{s}$ = 定子电阻
$\psi _{f}$ = 由永磁体产生的磁链 (主磁链)
$\theta$ = 转子电角度 (电角位置，d、q 坐标旋转角度)
$\omega _{e}$ = 电角速度

3.3.3 代码演示

void SMO_position_estimate(void) {

    // Clarke 变换：三相电流 -> αβ
    float Ialpha = CS_M0.current_a;
    float Ibeta  = _1_SQRT3 * CS_M0.current_a + _2_SQRT3 * CS_M0.current_b;

    // 根据电流微分方程构造电流预测模型
    // 核心思想是输入预估的反电动势反推出来电流
    //其中 SMO_Ualpha 和 SMO_Ubeta 是逆变器控制的电压 Ealpha 和 Ebeta 是滑模观测器估计的反电动势
    Est_Ialpha = a_coeff * Est_Ialpha + b_coeff * (SMO_Ualpha - Ealpha);
    Est_Ibeta  = a_coeff * Est_Ibeta  + b_coeff * (SMO_Ubeta  - Ebeta);

    // 电流误差 观测误差与实际误差 也就是滑模面函数
    float Ialpha_Err = Est_Ialpha - Ialpha;
    float Ibeta_Err  = Est_Ibeta  - Ibeta;

    // 构造控制律
    Ealpha = h * sat(Ialpha_Err, 0.5f);
    Ebeta  = h * sat(Ibeta_Err,  0.5f);

    // 低通滤波
    Ealpha_flt = 0.1f * Ealpha_flt + 0.9f * Ealpha;
    Ebeta_flt  = 0.1f * Ebeta_flt  + 0.9f * Ebeta;

    // 反电动势求角度 使用 atan2 函数计算电角度
    SMO_Est_theta = -atan2f(Ealpha_flt, Ebeta_flt);
}

set 函数定义：

float sat(float err, float limits) {
  if (err > limits) return 1;
  else if (err < -limits) return -1;
  else
    return err / limits;
}

3.4 通过 α 和 β 轴反电动势计算角度

因为 α 轴和 β 轴呈 90°，所以使用反正切角度即可推算出电角度。

也就是：

$\theta =\arctan (\frac{E_{\alpha }}{E_{\beta }})$

$\theta$ = 转子电角度 (电角位置，d、q 坐标旋转角度)
$E_{\alpha \beta }$ = α、β 轴的反电动势

对应上面代码的：

// 反电动势求角度 使用 atan2 函数计算电角度
    SMO_Est_theta = -atan2f(Ealpha_flt, Ebeta_flt);