完全背包之钱币兑换问题

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使用动态规划解决一个国家只有1分、2分、3分硬币时，将钱N兑换成硬币的不同方法数。通过示例输入输出说明算法思路，包括迭代和优化数组的过程。

钱币兑换问题

在一个国家仅有1分，2分，3分硬币，将钱N兑换成硬币有很多种兑法。请你编程序计算出共有多少种兑法。 

输入：每行只有一个正整数N，N小于32768。

输出：对应每个输入，输出兑换方法数。

Sample input:

2934

12553 

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01背包问题和完全背包问题的区别
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在动态规划中，01背包问题与完全背包问题是两种经典的背包问题，它们在物品选取方式、状态转移方程以及动态规划的实现方式上存在显著区别。 ### 01背包问题 在01背包问题中，每种物品**只能使用一次**。给定一个容量为 `m` 的背包和 `n` 个物品，每个物品有体积 `v[i]` 和价值 `w[i]`，目标是选择物品使得总价值最大且不超过背包容量。动态规划的状态转移方程为： ``` dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - v[i]] + w[i]) ``` 其中，`dp[i][j]` 表示前 `i` 个物品在容量为 `j` 的情况下所能获得的最大价值。 在实现上，通常采用一维数组优化空间复杂度，并且内层循环需要**逆序遍历**背包容量，以确保每个物品只被选取一次[^2]。 ```cpp for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = m; j >= v[i]; j--) { dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]); } } ``` ### 完全背包问题 完全背包问题与01背包问题的核心区别在于，每种物品**可以使用无限次**。同样地，动态规划的状态转移方程为： ``` dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]) ``` 其中，`k` 表示当前物品选取的数量，且 `k * v[i] ≤ j`。在实现上，完全背包问题可以通过一维数组进行优化，并且内层循环需要**正向遍历**背包容量，以确保每个物品可以多次选取[^1]。 ```cpp for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = v[i]; j <= m; j++) { dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]); } } ``` ### 区别总结 1. **物品选取次数**：01背包问题中每个物品只能选取一次，而完全背包问题中每个物品可以选取无限次。 2. **遍历顺序**：01背包问题的内层循环逆序遍历背包容量，而完全背包问题的内层循环正序遍历背包容量。 3. **状态转移方程**：01背包问题的状态转移方程仅考虑是否选取当前物品一次，而完全背包问题则需要考虑选取当前物品的多个次数。 4. **应用场景**：01背包问题适用于资源有限且不可重复使用的情况，例如物品不可再生；而完全背包问题适用于资源可重复使用的情况，例如货币兑换问题。 ###
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