线段树

线段树

终于…解放了
经过了漫长的一个月的备战，总体来说还算可以吧
下面切入正题：
单点修改，单点查询，很简单的东西
区间查询，区间修改，线段树…

线段树，是一种基于分治思想的二叉树,它有如下性质：
1.线段树的每一个节点都代表一个区间
2.线段树的根节点是唯一一个，代表的区间是整个统计的范围
3.线段树的每一个叶子节点只代表一个数
4.对于每一个线段树的节点，左儿子代表左区间，右二子代表右区间
所以线段树一定是一个完全二叉树，所以我们可以按照父亲儿子的表示进行表示

空间

一共n个数，那么需要4n+1个空间，因为因为最后一个区间是n，那么总共的树的大小就是2n-1还要空出一行，那么就是2n-1+2n化简得，4n+1
线段树有区修，区查，单修，单查操作

建树O(n)

线段树是对序列进行维护，支持查询和修改命令，可以在一个区间之内建立一颗线段树，区间内的值就是左右儿子的最大值，线段树可以很方便的向上传递信息，然后比较大的传递上来，每一个叶子节点只保存a[i]的值
建树的思想其实就是不断地继续二分建树，然后直至叶子节点剩下一个，其实很好想

struct st
{
	int l,r;
	int date;
}tree[100*4];//四倍空间 
void build(int p,int l,int r)//p编号，l左节点，r右节点 
{
	t[p].l=l;t[p].r=r;
	if(l==r)//单节点一个区间
	{
		t[p].date=a[l];
		return ;
	 } 
	 
	 int mid=(l+r)/2;
	 build(p*2,l,mid);
	 build(p*2+1,mid+1,r);
	 t[p].date=max(t[p*2].date,t[p*2+1].date);
}

单点修改O(log n)

修改指令其实就是一个“1 x v”的指令，表示把a[x]修改成v
虽然这个线段树是单点修改，但是每次修改一个点，都会影响一个区间，所以我们需要递归往上更新区间的值
在线段树中，根节点是所有指令的入口，我们需要从根节点出发，不断向下二分查询，直至找到需要修改的点，然后再往上更新，每一个区间块的值

void change(int p,int x,int v)
{
	if(t[p].l==t[p].r)//找到这个点了，进行更新 
	{
		t[p].date=v;
		return ;
	}
	int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
	if(x<=mid) change(p*2,x,v);
	else change(p*2+1,x,v);//二分递归查找x
	t[p].date=max(t[p*2].date,t[p*2+1].date);//向上更新 
}

区间查询O(log n)

区间查询就是一个类似于“Q l r”的指令，例如查询序列A的区间[l，r]的最大区间值，我们还是需要从根节点出发，并执行如下的过程：
1.如果这个区间[l,r]覆盖了当前区间代表点，就直接结束
2.如果这个区间与左儿子有重叠部分就递归访问左子树，二分查找
3.如果这个区间与右儿子有重叠部分就递归右子树，二分查找

int ask(int p,int l,int r)
{
	if(l<=t[p].l&&r>=t[p].r) return t[p].date;//完全覆盖找到此区间
	int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;//二分查询区间
	int val=-9999999;
	if(l<=mid) val=max(val,ask(p*2,l,mid));
	else val=max(val,ask(p*2+1,mid,r));
	return val;
}

区间求和

对于区间求和的操作，就是需要递归找到这个区间，然后计算就好

int query(int x,int l,int r,int from,int to)
{
	if(l>=from&&r<=to) return tree[x].sum;//找到区间
	int ans=0;
	if(from<=mid) ans+=query(x*2,l,mid,from,to);
	if(to>mid) ans+=query(x*2+1,mid+1,r,from,to);//加上区间 
	return ans;
}

懒标记，就是一种类似于flag的标识，为什么叫做懒标记呢，因为我们这样做就是为了省事，在线段树向上或者向下传递中，会一步一步传递，比较浪费时间，也就是说，我们只为了一个答案，根本不需要进行一个多余的进行传递，所以我们只要在回溯前增加一个标记就好了表示“该节点曾经被修改了，但是子节点没有被修改”，然后不断地将这个求区间和的指令进行下传，递归执行指令

void pushdown(int x,int l,int r)
{
	tree[x*2].add+=tree[x].add;
	tree[x*2+1].add+=tree[x].add;//下传懒标记 
	tree[x*2].sum+=tree[x].add*(mid-l+1);
	tree[x*2+1].sum+=tree[x].add*(r-mid);
}
int query(int x,int l,int r,int from,int to)
{
	if(l>=from&&r<=to) return tree[x].sum;//找到区间
	pushdown(x,l,r);//下传
	if(from<=mid) ans+=query(x*2,l,mid,from,to);
	if(to>mid) ans+=query(x*2+1,mid+1,r,from,to);//加上区间 
}

如果变成区间修改，就不是加上懒标记，直接复制懒标记
对于查询最值的操作

pushup()
{
	tree[x].min = min(tree[lc].min, tree[rc].min)
}
pushdown()
{
	tree[lc] += tree[x].add, tree[rc] += tree[x].add
}

总的来说，线段树，就是一种实现二维区间的数据结构，支持查询修改操作