树状数组

树状数组

树状数组，就有点把二进制和分治思想结合了一下
树状数组这个数据结构支持单点增加，区间求和
树状数组就是一个运用前缀和的高级数据结构，它满足如下几个性质：
1.每一个节点，c[x]保存都会保存一个以这个点为根的子树的所有节点的叶子节点的和
2.每一个节点，c[x]的子节点个数等于lowbit的位数
3.除了根节点之外，每一个内部节点c[x]c[x]的父亲就是c[x+lowbit(x)那么他的儿子就是c[x-lowbit()x]

lowbit

首先我们线了解一下什么是lowbit，lowbit的具体的含义很难理解，但是他的值却很好求，比如我们设一个数是x，那么就有lowbit(x)=x&-x但是他具体是什么意思，我认为没有必要进行研究
经过一个月后，其实-x是x的补码，与他进行按位与，那么就是最低位1的位置，也就是从右往左的第一个为1的位置

查询前缀和

就是说序列a第1~x个数的和，按照我们刚才提出的方法，就是求出x的二进制表示每一个等于1的位，把[1,x]分成若干个区间，然后把每一个区间和都保存数组c中

int ask(int x)
{
	int ans=0;
	for(;x;x-=x&x)//lowbit不断变化，往上调用儿子，往上传递
	{
		ans+=c[x];//c数组保存叶子节点
	}
	return ans;
}

当然，如果要查询序列a的区间的所有的和，就需要计算ask®-ask(l-1)

单点增加

就是说给一个序列中加上一个数a[x]加上y，同时正确维护序列的前缀和，这句话的后半段很重要，必须要按满足前缀和，我们要注意进行更新，不断地往上更新
我们可以利用这个单点增加来进行构建一个树状数组，因为我们可以感觉这个进行每一个点的单点增加

void add(int x)
{
	int ans=0;
	for(;x;x-=x&x) ans+=c[x];//向上更新
	return ans;
}

树状数组其实还会结合一种东西叫做逆序对，我们也可以根据树状数组进行创建一个逆序对：
1.在序列a中的数值范围内建立树状数组，初始化位0
2.然后倒序扫描给定的序列a，对于每一个数：
（1）查询树状数组[1,a[i]-1]累计加到答案
（2）执行单点增加操作

for(int i=n;i;i--)
{
	ans+=ask(a[i]-1);
	add(a[i],1);
}
cout<<<ans<<<endl;

下面来一个综合代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m;
int a[500010];//数列
int tree[500010]//前缀和数组 
int q,x,y;
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
void update(int x,int k)//将第x数加上k 
{
	while(x<=n)
	{
		tree[x]+=k;
		x+=lowbit(x);//往上传递信息 
	}
}
void build()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		update(i,a[i]);//利用单点增加建树 
	}
}
int qian(int x)//x的前缀和 
{
	int sum=0;//每次 都要清空 
	while(x)
	{
		sum+=tree[x];
		x-=lowbit(x);//往下传递 
	 } 
	 return sum;
 } 
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	build();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>q>>x>>y;
		if(q==1)
			update(x,y);
		else
			cout<<qian(y)-qian(x-1);
	}
	return 0;
}